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微分方程较易

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 若连续函数

f (x)

满足关系式

f (x) = \int_{0}^{2 x} f (\frac{t}{2}) d t + \ln 2

, 则

f (x)

等于

A.

e^{x} \ln 2

B.

e^{2 x} \ln 2

C.

e^{x} + \ln 2

D.

e^{2 x} + \ln 2

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2. 设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解, 若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是对应的齐次方程的解，则

A.

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

B.

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

C.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

D.

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

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3. 函数

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} + x e^{x}

满足的一个微分方程是

A.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

B.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

C.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

D.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

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4. 微分方程

y^{''} + y = x^{2} + 1 + \sin x

的特解形式可设为

A.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + x (A \sin x + B \cos x)

B.

y^{*} = x (a x^{2} + b x + c + A \sin x + B \cos x)

C.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \sin x

D.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \cos x

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5. . 微分方程

y^{''} - y = e^{x} + 1

的一个特解应具有形式 (式中

a, b

为常数)

A.

a e^{x} + b

B.

a x e^{x} + b

C.

a e^{x} + b x

D.

a x e^{x} + b x

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6. 在下列微分方程中, 以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x (C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意常数）为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

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7. 具有特解

y_{1} = e^{- x}, y_{2} = 2 x e^{- x}, y_{3} = 3 e^{x}

的 3 阶常系数齐次线性微分方程是

A.

y^{''''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} - y^{'} - y = 0

C.

y^{'''} - 6 y^{''} + 11 y^{'} - 6 y = 0

D.

y^{'''} - 2 y^{''} - y^{'} + 2 y = 0

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8. 下列方程中， ________ 是齐次方程。

A.

\frac{d y}{y^{2} - 2 x y} = \frac{d x}{x^{2} - x y + y^{2}}

B.

y^{'} = \frac{1}{x - y^{2}}

C.

(2 x - y + 3) d y = (x - 2 y + 1) d x

D.

\frac{x}{2 + y} d y = \frac{y}{2 + x} d x

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9. 若函数

y = x e^{x}

是方程

F (x, y, y^{'}) = 0

解, 则

y = x e^{x} + C

(C为任意常数)

A.

是

F (x, y, y) = 0

的通解

B.

是

F (x, y, y^{'}) = 0

的特解

C.

不是

F (x, y, y) = 0

的通解

D.

不能确定是否为

F (x, y, y^{'}) = 0

的解

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10. 设

k

为任意常数, 微分方程

y^{'} = 2 x \tan y

的通解是

A.

- \ln \sin y = x^{2} + k

B.

\sin y = k e^{z^{2}} (k \neq 0)

C.

\ln \sin y = k x^{2}

D.

\ln k \sin y = x^{2} (k > 0)

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 若

y = e^{- x} (1 + 2 x) + 3 e^{x}

是线性常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = A e^{- x}

的特解, 则常数

A =

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12. 方程

3 x y y^{'} (x) + x^{2} + y^{2} = 0

的通解为

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13. 设

a, b \in R

且

a > 0

，如果对任意

x \in R

，可微函数

f (x)

满足

f (x) = a f^{'} (- x) + b,

则满足条件的所有

f (x)

的表达式为

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14. 微分方程

y^{'} = \frac{y (1 - x)}{x}

的通解是

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15. 微分方程初值问题

{\begin{cases} (1 + e^{x}) y y^{'} = e^{x} \\ y (0) = \sqrt{2 \ln 2} \end{cases}

的解为

y (x) =

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16. 微分方程

x^{2} y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0

的通解为

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 解方程

x d y + 2 y d x = 0, {y |}_{x = 2} = 1

．

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18.

\frac{d y}{d x} - y \tan x = \sec x, {y |}_{x = 0} = 0

；

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19.

y^{''} + 6 y^{'} + 13 y = 0

；

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20.

4 y^{''} + 4 y^{'} + y = 0, {y |}_{x = 0} = 2, {y^{'} |}_{x = 0} = 0

；

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21.

y^{''} + 4 y^{'} + 29 y = 0, {y |}_{x = 0} = 0, {y^{'} |}_{x = 0} = 15

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22.

2 y^{''} + y^{'} - y = 2 e^{x}

；

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23.

y^{''} + a^{2} y = e^{x}

；

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24.

x y^{'} + y = 2 \sqrt{x y}

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25.

x y^{'} \ln x + y = a x (\ln x + 1)

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26.

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = \sin 2 x

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