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222试卷具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

在区问

[a, b]

上有定义, 对于命题
(1) 若

y = f (x)

在

[a, b]

上无界, 则

f (x)

在

[a, b]

上必存在间断点
(2) 若

y = f (x)

在

[a, b]

上可导, 则导函数

f^{'} (x)

在

[a, b]

上必有界
下列选项正确的是

A.

仅 (1) 正确

B.

仅（2）正确

C.

都正确

D.

都错误

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2. 设实数数列

{a_{n}}

, 给出以下四个命题:
1) 若

lim_{n \to \infty} a_{n} = A

, 则

lim_{n \to \infty} \sin a_{n} = \sin A

.
2) 若

lim_{n \to \infty} \sin a_{n} = \sin A

, 则

lim_{n \to \infty} a_{n} = A

.
3) 若

lim_{n \to \infty} a_{n} = A

, 则

lim_{n \to \infty} e^{a_{n}} = e^{A}

.
4) 若

lim_{n \to \infty} e^{a_{n}} = e^{A}

, 则

lim_{n \to \infty} a_{n} = A

.

其中真命题的个数是

A.

B.

C.

D.

E.

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3. 下列说法正确的是（）．

A.

若数列

{x_{n}}

有界，且

lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) = 0

，则数列

{x_{n}}

收敛

B.

若

lim_{n \to \infty} x_{2 n} = a, lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) = 0

，则

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

C.

若数列

{x_{n}}

单调，数列

{x_{2 n}}

收敛，则数列

{x_{n}}

不一定收敛

D.

若数列

{x_{n}}

的任何子列都收敛，则数列

{x_{n}}

不一定收敛

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 求

lim_{x \to 0} (1 + 5 x)^{\frac{1}{\sin x}}

;

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5. 求

lim_{n \to \infty} (\sin \frac{1}{n^{2} + 3 n^{3}}) \sum_{k = 1}^{n} k e^{\frac{k}{n}}

;

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6. 已知

f^{'} (x) = \sqrt{1 + x^{2}}, g^{'} (x) = \frac{1}{1 + x}

, 且

f (0) = g (0) = 0

, 试求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{g (x)})

。

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lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

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lim_{n \to \infty} \frac{3^{n} + 2^{n}}{3^{n} + n^{2}}

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lim_{x \to \infty} (\sqrt[4]{(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)} - x)

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10.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}

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11.

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - x^{4}} - \sqrt[3]{x}}{1 - x^{\frac{4}{3}}}

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12. 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x^{2} + 3 x + 1)}{\ln (x^{3} + 2 x + 1)}

;

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13.

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - \sin x + \ln (1 + x)}{x \sin^{2} x}

。

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14. 求极限

lim_{x \to 0} [\frac{1}{\ln (1 + \sin^{2} x)} - \frac{1}{\ln (1 + x^{2})}]

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15.

f (x, y) = {\begin{cases} x y \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2} + y^{2} = 0 \end{cases};

证明:
(1)

lim_{t \to 0^{+}} f (t \cos α, t \sin α) = f (0, 0)

;
(2)

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = f (0, 0)

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16. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2} x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) \cos x^{2}}{\cos x - e^{- \frac{x^{2}}{2}}}

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17. 求函数

y = 4 e^{- x} (2 x^{2} + x + 1) - 5

的单调区间，极值，上凸区间Q与下凸区间，以及拐点的横坐标。

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18. 设可导函数

f (x)

满足

f (1) = 1

，且对

x \geq 1

时，有

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2} (x)}

。
( I ) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限；
(II) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x) \leq 1 + \frac{π}{4}

。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判

A +

)
设

f \in C [0, 1] ， g

为非负的周期函数，周期为 1 ，且

g \in R [0, 1]

，求证:

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} f (x) g (n x) d x = (\int_{0}^{1} f (x) d x) (\int_{0}^{1} g (x) d x) 。

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19. 讨论下列数列的敛散性。

a_{n} = \sqrt[n]{1 + \sqrt[n]{2 + \sqrt[n]{3 + \dots + \sqrt[n]{n}}}}

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20. 设

α

为给定的实数, 若函数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{α}} \sin (n x + \frac{1}{n x})

关于

x \in (0, 2 π)

内闭一致收敛, 求

α

的取值范围.

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21. 用极限定义证明:

lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x^{2} + 1} = - 1

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22.

lim_{x \to 0} (1 + \sin x - \sin (\sin x))^{\frac{1}{x^{3}}}

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23. 求极限

lim_{x \to \infty} x^{2} [{(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{1}{x}} - 1]

之值.

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24. (1) 求

\int_{0}^{π} \frac{1}{1 + \cos^{2} x} d x

和

\int_{0}^{π} \frac{\sin^{2} x}{1 + \cos^{2} x} d x

;
(2) 证明

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} \frac{\sin^{2} t}{1 + \cos^{2} t} d t}{\int_{0}^{x} \frac{1}{1 + \cos^{2} t} d t} = 2 - \sqrt{2}

。

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25.

lim_{x \to 0} {(\frac{a^{x} + b^{x} + c^{x}}{3})}^{\frac{1}{x}} (a > 0, b > 0, c > 0)

．

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26. 求

lim_{x \to + \infty} {(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^{x} - 1}{a - 1})}^{\frac{1}{x}}

，其中

a > 0, a \neq 1

．

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