数学试题讲解

(1) 求

\int_{0}^{π} \frac{1}{1 + \cos^{2} x} d x

和

\int_{0}^{π} \frac{\sin^{2} x}{1 + \cos^{2} x} d x

;
(2) 证明

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} \frac{\sin^{2} t}{1 + \cos^{2} t} d t}{\int_{0}^{x} \frac{1}{1 + \cos^{2} t} d t} = 2 - \sqrt{2}

。