一、单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
1. 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
2. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}=a, g(x)=\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$, 则 ( )。
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $g(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $g(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $g(x)$ 在 $x=0$ 的连续性与 $a$ 相关
$\text{D.}$ $g(x)$ 在 $x=0$ 的连续
3. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
4. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 等价的是（ ）．
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$
5. 设 $f(x)$ 在 $R$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $R$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的？
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点；
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点；
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 未必有间断点；
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 没有间断点；
二、填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
6. 设 $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(n+k)(n+k+1)}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=$
7. 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{\frac{1}{x}}+1, \quad x < 0, \\ a, \quad x=0, \\ \frac{\sin (b x)}{x}, x>0\end{array}\right.$, 试确定 $a, b$ 之值, 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
三、解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
8. 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$.
9. 设 $f(x)=\sqrt{x+2}-2 \sqrt{x+1}+\sqrt{x}, g(x)=\frac{A}{x^k}$,确定 $k$ 及 $A$, 使当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \sim g(x)$.
10. 求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}$.
11. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{|\sin x|}$
12. 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有非负的二阶导函数, 在 $x=0$ 处连续, 并且 $f(0)=0$, 证明: 对于任意的 $x_1>0, x_2>0$, 都有 $f\left(x_1+x_2\right) \geq f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ 。
13. 设函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ ，试确定其所有的间断点并判定其类型（第一类，第二类）．
14. 讨论函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ 的连续性，若有间断点，判别其类型．
15. 若方程 $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x_0$ ，证明方程
$a_0 n x^{n-1}+a_1(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=0$必有一个小于 $x_0$ 的正根．
16. 设 $x \in(0,1)$ ，证明
（I）对任意正整数 $n$ ，都有 $\frac{n^x \cdot n!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} < 1$ ；
（II） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$ 存在（有限）．
17. (附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（I）$f(x)>0$ ；
（II）$f(1)=1, f(x+1)=x f(x)$ ；
（III）$\varphi(x)=\ln f(x)$ 是下凸函数．
试证：$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad(0 < x < 1)$ ．
18. 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ．