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试题 ID 24037
【所属试卷】
清华大学2024-2025学年微积分A1期末考试题及参考解答
(附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（I）$f(x)>0$ ；
（II）$f(1)=1, f(x+1)=x f(x)$ ；
（III）$\varphi(x)=\ln f(x)$ 是下凸函数．
试证：$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad(0 < x < 1)$ ．
A
B
C
D
E
F
答案：
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解析：
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(附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：<br>（I）$f(x)>0$ ；<br>（II）$f(1)=1, f(x+1)=x f(x)$ ；<br>（III）$\varphi(x)=\ln f(x)$ 是下凸函数．<br>试证：$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad(0 < x < 1)$ ． <div> </div> <br /> <br /> <b>答案</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div> <br /> <br /> <b>解析</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div>