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题号:24037 题型:解答题 来源:清华大学2024-2025学年微积分A1期末考试题及参考解答
(附加题,不计入总分可用于评判A+) 已知定义在
(
0
,
+
∞
)
上的函数
f
(
x
)
满足如下条件：
（I）
f
(
x
)
>
0
；
（II）
f
(
1
)
=
1
,
f
(
x
+
1
)
=
x
f
(
x
)
；
（III）
φ
(
x
)
=
ln
f
(
x
)
是下凸函数．
试证：
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
n
x
⋅
n
!
x
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
⋯
(
x
+
n
)
(
0
<
x
<
1
)
．
A.
B.
C.
D.
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