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题号:8040 题型:解答题 来源:清华大学2021-2022学年秋季学期微积分A(1)期末考试
设可导函数
f
(
x
)
满足
f
(
1
)
=
1
，且对
x
≥
1
时，有
f
′
(
x
)
=
1
x
2
+
f
2
(
x
)
。
( I ) 证明:
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
存在且有限；
(II) 证明:
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
≤
1
+
π
4
。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判
A
+
)
设
，
f
∈
C
[
0
,
1
]
，
g
为非负的周期函数，周期为 1 ，且
g
∈
R
[
0
,
1
]
，求证:
。
lim
n
→
+
∞
∫
0
1
f
(
x
)
g
(
n
x
)
d
x
=
(
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
)
(
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
)
。
A.
B.
C.
D.
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