数学试题讲解

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设可导函数

f (x)

满足

f (1) = 1

，且对

x \geq 1

时，有

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2} (x)}

。
( I ) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限；
(II) 证明:

lim_{x \to + \infty} f (x) \leq 1 + \frac{π}{4}

。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判

A +

)
设

f \in C [0, 1] ， g

为非负的周期函数，周期为 1 ，且

g \in R [0, 1]

，求证:

lim_{n \to + \infty} \int_{0}^{1} f (x) g (n x) d x = (\int_{0}^{1} f (x) d x) (\int_{0}^{1} g (x) d x) 。