单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处, $P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动, 记 $G$ 为引力常量,则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时, 克服质点 $Q$ 的引力所做的功为
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
设函数 $f(x)$ 连续, 给出下列四个条件
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在;
(3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在;
其中能得到 " $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导"的条件个数是( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值, 则 ( )
$\text{A.}$ $a>4, b>0$
$\text{B.}$ $a < 4, b>0$
$\text{C.}$ $a>4, b < 0$
$\text{D.}$ $a < 4, b < 0$
下列矩阵中, 可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$
设 3 阶矩阵 $A, B$ 满足 $r(A B)=r(B A)+1$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $(A+B) x=0$ 只有零解
$\text{B.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 均只有零解
$\text{C.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 没有公共非零解
$\text{D.}$ 方程组 $A B A x=0$ 与方程组 $B A B x=0$ 有公共非零解
在 $x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量中与 $x$ 等价的是
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$.
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$.
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$.
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 也是 $g(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, $(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
已知 $k$ 为常数, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right]$
$\text{A.}$ 绝对收敛。
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散。
$\text{D.}$ 敛散性与 $k$ 的取值有关.
设函数 $f(x)$ 连续, $\int_0^1 d y \int_0^y f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 x f(x) d x$.
$\text{B.}$ $\int_0^1(x+1) f(x) d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^1(x-1) f(x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_0^1(1-x) f(x) d x$.
$A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\beta$ 是 $m$ 维非零列向量, 若 $A$ 有 $k$ 阶非零子式, 则
$\text{A.}$ 当 $k=m$ 时, $A x = \beta$ 有解.
$\text{B.}$ 当 $k=m$ 时, $A x = \beta$ 无解.
$\text{C.}$ 当 $k < m$ 时, $A x = \beta$ 有解.
$\text{D.}$ 当 $k < m$ 时, $A x = \beta$ 无解.
设 $A$ 为 3 阶矩阵, 则 " $A ^3- A ^2$ " 可对角化是 " $A$ 可对角化" 的
$\text{A.}$ 充分但不必要条件
$\text{B.}$ 必要但不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$, 若 $f(x, y)=|x A +y B |$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,2-\sqrt{3})$
$\text{B.}$ $(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(2+\sqrt{3}, 4)$
$\text{D.}$ $(0,4)$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(-1,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,2)$, 若 $X$ 与 $X+2 Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $X-Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本. 令 $T=\sum_{i=1}^{20} X_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{ e ^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{ e ^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{ e ^2}$.
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 样本的经验分布函数为 $F_n(x)$, 对于给定的 $x(0 < F(x) < 1), D\left(F_n(x)\right)=$
$\text{A.}$ $F(x)(1-F(x))$
$\text{B.}$ $(F(x))^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} F(x)(1-F(x))$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}(F(x))^2$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \frac{n-1}{n}\right]=$
已知函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{c}x=\ln (1+2 t) \\ 2 t-\int_1^{y+t^2} e^{-u u^2} d u=0\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$
微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为
设矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 且 $\alpha_1+\alpha_2=\alpha_3+\alpha_4$, 则方程组 $A x=\alpha_1+4 \alpha_4$ 的通解为 $x=$
设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}$ 的反函数, 则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
已知函数 $z=z(x, y)$ 由 $z+\ln z-\int_y^x x e ^{-t^2} d t=1$ 确定, 则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(1,1)}=$
已知 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 3 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -3 & 4 x & -2 \\ 2 x+1 & 2 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -4 & 4 x & -2\end{array}\right|, g(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 1 & 2 x+1 & 3 \\ 5 x+1 & -2 & 4 x & -3 \\ 0 & 1 & 2 x+1 & 2 \\ 2 x & -2 & 4 x & -4\end{array}\right|$, 则方程 $f(x)=g(x)$ 的不同的根的个数为
设 $A, B, C$ 为三个随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 相互独立, $B$ 与 $C$ 相互独立, $A$ 与 $C$ 互不相容,已知 $P(A)=P(C)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2}$, 则在事件 $A, B, C$ 至少有一个发生的事件下, $A, B, C$ 中恰有一个发生的概率为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$, 证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 并求 $f^{\prime}(0)$.
设函数 $f(x, y)$ 可微且满足 $d f(x, y)=-2 x e^{-y} d x+e^{-y}\left(x^2-y-1\right) d y, f(0,0)=2$, 求 $f(x, y)$, 并求 $f(x, y)$ 的极值.
已知平面有界区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4 x, x^2+y^2 \leq 4 y\right\}$, 计算 $\iint_D(x-y)^2 d x d y$.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 合同.
(1)求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围:
(2) 若存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^T A Q=B$, 求 $k$ 及 $Q$.
计算$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x .$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3\end{array}\right)$ 的秩为 2 .
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\alpha , \beta$, 并求矩阵 $H$, 使得 $A = G H$, 其中 $G =( \alpha , \beta )$.
投保人的损失事件发生时, 保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq 100 \\
X-100, X>100
\end{array}\right.
$$
设定损事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}
$$
（1）求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$.
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$, 假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布, 在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下, $M$ 服从二项分布 $B(n, p)$, 其中 $p=P\{Y>0\}$, 求 $M$ 的概率分布.