单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \in \mathbf{Z} \mid x^2-3 x-4 < 0\right\}, B=\{x \mid \ln (x-1)>0\}$, 则 $A \cap B= $
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{1,2\}$
$\text{C.}$ $\{2,3\}$
$\text{D.}$ $\{3\}$
" $-2 < a < 2$ " 是 "函数 $f(x)=\lg \left(x^2-a x+1\right)$ 的值域为 $\mathbf{R}$ " 的（）
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $y=\log _a(3 x-5)+\sqrt{2}$ 的图象恒过定点 $P$, 点 $P$ 在幂函数 $f(x)$ 的图象上, 则 $f(9)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 9
已知 $a=2024^{\frac{1}{2023}}, b=\log _{2023} 2022, c=\log _{2022} \frac{1}{2023}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $b>a>c$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $a>c>b$
下列说法正确的是
$\text{A.}$ 不存在值域相同, 对应关系相同, 但定义域不同的两个函数
$\text{B.}$ 当正整数 $n$ 越来越大时， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 的底数越来越小，指数越来越大， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数
$\text{C.}$ 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线, 且有 $f(a) \cdot f(b) \leqslant 0$, 那么函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点
$\text{D.}$ 如果 $\sin x>0$, 则 $x$ 是第一象限角或第二象限角
已知函数 $f(x)=\left|\log _2 x\right|$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f(a)=f(b)$ ，则 $a+2 b$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $[2 \sqrt{2},+\infty)$
$\text{B.}$ $(2 \sqrt{2},+\infty)$
$\text{C.}$ $(3,+\infty)$
$\text{D.}$ $[3,+\infty)$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+\lg 5, x \leqslant 3, \\ \frac{1}{f(x-1)}, x>3,\end{array}\right.$ 则 $f(2024+\lg 2)=(\quad$ ）
$\text{A.}$ 2025
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
已知函数 $f(x)=\left|x-\frac{1}{x}\right|-\left|x+\frac{1}{x}\right|+3$, 若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-(a+8) f(x)-a=0$ 有 8 个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）
$\text{A.}$ $\left(-4,-\frac{15}{4}\right)$
$\text{B.}$ $\left[-\frac{15}{4}, 0\right)$
$\text{C.}$ $(-4,0)$
$\text{D.}$ $\left(-4,-\frac{7}{2}\right)$
已知函数 $f(x)=|\cos 2 x+\sin x|$, 则下列四个结论正确的有 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 的值域为 $[0,2]$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left[-\frac{5 \pi}{4},-\pi\right]$ 上单调递减
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上恰有 6 个零点
在数学中, 双曲函数是与三角函数类似的函数, 最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数,
已知双曲正弦函数的解析式为 $\sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$, 双曲余弦函数的解析式为 $\cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ （其中 e 为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）
$\text{A.}$ $y=\sinh x \cdot \cosh x$ 是奇函数
$\text{B.}$ $\cosh (x+y)=\cosh x \cdot \cosh y-\sinh x \cdot \sinh y$
$\text{C.}$ $(\sinh x)^2+(\cosh x)^2=1$
$\text{D.}$ 函数 $y=\frac{\sinh x}{\cosh x}$ 的值域为 $(-1,1)$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x+\pi)$ 为奇函数, $f(x+2 \pi)$ 为偶函数. 当 $x \in[0, \pi]$ 时， $f(x)=\sin x$ ，则下列结论正确的有（）
$\text{A.}$ $f\left(\frac{5 \pi}{2}\right)=-1$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $\left(3 \pi, \frac{7 \pi}{2}\right)$ 上单调递减
$\text{C.}$ 点 $(8 \pi, 0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个对称中心
$\text{D.}$ 方程 $f(x)+\lg x=0$ 有 5 个实数解
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\ln x+x-3, g(x)=\mathrm{e}^x+x-3$ (其中 e 为自然对数的底数). 设 $m, n$ 分别为 $f(x), g(x)$ 的零点, 则 $\mathrm{e}^n+\ln m=$
计算 $\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 40^{\circ}+\cos ^2 80^{\circ}}{\sin ^2 20^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}+\cos 50^{\circ} \sin 20^{\circ}}=$
我们知道, 函数 $y=f(x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x+a)-b$ 为奇函数. 结合以上推广，现有函数 $f(x)=x^3-3 x^2$ ，则 $f(-22)+f(-21)+\cdots+f(0)+f(1)+\cdots+f(23)+f(24)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)=\frac{2^x-a}{2^x+1}$, 其中 $a>0$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的值域;
(2) 解不等式: $2 f(x)+\frac{2}{f(x)+1} \leqslant 3$.
已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x-2 \cos ^2 \omega x+2$, 其中 $\omega>0$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 内有且仅有 3 个零点, 求 $\omega$ 的取值范围;
(2) 当 $\omega=1$ 时, 若对任意实数 $x_1 \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 存在实数 $x_2 \in(0,+\infty)$, 使 $f\left(x_1\right) \leqslant 3^{m x_2^2+x_2}$ 成立, 求实数 $m$的取值范围.
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $h(x)$ 满足:
(1) $h(1)=2$;
(2) $\forall x, y \in \mathbf{R}$, 均有 $h(x)-h(x-y)=y(2 x-y)$.
函数 $g(x)=a x+b$, 若曲线 $g(x)$ 与 $h(x)$ 恰有一个交点且交点横坐标为 1 , 令 $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$.
(1) 求实数 $a, b$ 的值及 $f(x)$;
(2) 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性, 不用说明理由;
(3) 已知 $0 < x_1 < x_2$, 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, 证明: $x_1+x_2>2$.
己知函数 $f(x)=\sin \frac{\pi}{4} x, g(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x}{2}$, 其中 e 为自然对数的底数.
(1) 若 $f\left(3-\frac{4 \alpha}{\pi}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 求 $f\left(\frac{4 \alpha}{\pi}+1\right)$;
(2) 设函数 $h(x)=\ln x+f(x)$, 证明: $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且仅有一个零点 $x_0$, 且 $g\left(f\left(x_0\right)\right)>-\frac{3}{4}$.
已知两个函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$, 记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M$. 若存在最小的正整数 $k$, 使得不等式 $g(x) \leqslant k M$ 恒成立, 则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的" $k$ 阶上界函数".
(1) 若 $f(x)=\frac{1}{4} x^3, x \in[-1,2]$ 是 $g(x)=\sqrt{6-x^2}$ 的 " $k$ 阶上界函数", 求 $k$ 的值;
（2）已知 $h(x)=a \cos 2 x+(a-1)(\cos x+1), t(x)=|-2 a \sin 2 x|-(a-1) \sin x$, 其中 $a>0$.
(i) 设 $|h(x)|$ 的最大值为 $A$, 求 $A$ ；
(ii) 求证: $h(x)$ 是 $t(x)$ 的" 2 阶上界函数".