已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)=\frac{2^x-a}{2^x+1}$, 其中 $a>0$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的值域;
(2) 解不等式: $2 f(x)+\frac{2}{f(x)+1} \leqslant 3$.
已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x-2 \cos ^2 \omega x+2$, 其中 $\omega>0$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 内有且仅有 3 个零点, 求 $\omega$ 的取值范围;
(2) 当 $\omega=1$ 时, 若对任意实数 $x_1 \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 存在实数 $x_2 \in(0,+\infty)$, 使 $f\left(x_1\right) \leqslant 3^{m x_2^2+x_2}$ 成立, 求实数 $m$的取值范围.
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $h(x)$ 满足:
(1) $h(1)=2$;
(2) $\forall x, y \in \mathbf{R}$, 均有 $h(x)-h(x-y)=y(2 x-y)$.
函数 $g(x)=a x+b$, 若曲线 $g(x)$ 与 $h(x)$ 恰有一个交点且交点横坐标为 1 , 令 $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$.
(1) 求实数 $a, b$ 的值及 $f(x)$;
(2) 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性, 不用说明理由;
(3) 已知 $0 < x_1 < x_2$, 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, 证明: $x_1+x_2>2$.
己知函数 $f(x)=\sin \frac{\pi}{4} x, g(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x}{2}$, 其中 e 为自然对数的底数.
(1) 若 $f\left(3-\frac{4 \alpha}{\pi}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 求 $f\left(\frac{4 \alpha}{\pi}+1\right)$;
(2) 设函数 $h(x)=\ln x+f(x)$, 证明: $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且仅有一个零点 $x_0$, 且 $g\left(f\left(x_0\right)\right)>-\frac{3}{4}$.
已知两个函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$, 记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M$. 若存在最小的正整数 $k$, 使得不等式 $g(x) \leqslant k M$ 恒成立, 则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的" $k$ 阶上界函数".
(1) 若 $f(x)=\frac{1}{4} x^3, x \in[-1,2]$ 是 $g(x)=\sqrt{6-x^2}$ 的 " $k$ 阶上界函数", 求 $k$ 的值;
（2）已知 $h(x)=a \cos 2 x+(a-1)(\cos x+1), t(x)=|-2 a \sin 2 x|-(a-1) \sin x$, 其中 $a>0$.
(i) 设 $|h(x)|$ 的最大值为 $A$, 求 $A$ ；
(ii) 求证: $h(x)$ 是 $t(x)$ 的" 2 阶上界函数".