已知两个函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$, 记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M$. 若存在最小的正整数 $k$, 使得不等式 $g(x) \leqslant k M$ 恒成立, 则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的" $k$ 阶上界函数".
(1) 若 $f(x)=\frac{1}{4} x^3, x \in[-1,2]$ 是 $g(x)=\sqrt{6-x^2}$ 的 " $k$ 阶上界函数", 求 $k$ 的值;
（2）已知 $h(x)=a \cos 2 x+(a-1)(\cos x+1), t(x)=|-2 a \sin 2 x|-(a-1) \sin x$, 其中 $a>0$.
(i) 设 $|h(x)|$ 的最大值为 $A$, 求 $A$ ；
(ii) 求证: $h(x)$ 是 $t(x)$ 的" 2 阶上界函数".