已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x-2 \cos ^2 \omega x+2$, 其中 $\omega>0$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 内有且仅有 3 个零点, 求 $\omega$ 的取值范围;
(2) 当 $\omega=1$ 时, 若对任意实数 $x_1 \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 存在实数 $x_2 \in(0,+\infty)$, 使 $f\left(x_1\right) \leqslant 3^{m x_2^2+x_2}$ 成立, 求实数 $m$的取值范围.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$