己知函数 $f(x)=\sin \frac{\pi}{4} x, g(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x}{2}$, 其中 e 为自然对数的底数.
(1) 若 $f\left(3-\frac{4 \alpha}{\pi}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 求 $f\left(\frac{4 \alpha}{\pi}+1\right)$;
(2) 设函数 $h(x)=\ln x+f(x)$, 证明: $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且仅有一个零点 $x_0$, 且 $g\left(f\left(x_0\right)\right)>-\frac{3}{4}$.