已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $h(x)$ 满足:
(1) $h(1)=2$;
(2) $\forall x, y \in \mathbf{R}$, 均有 $h(x)-h(x-y)=y(2 x-y)$.

函数 $g(x)=a x+b$, 若曲线 $g(x)$ 与 $h(x)$ 恰有一个交点且交点横坐标为 1 , 令 $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$.
(1) 求实数 $a, b$ 的值及 $f(x)$;
(2) 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性, 不用说明理由;
(3) 已知 $0 < x_1 < x_2$, 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, 证明: $x_1+x_2>2$.