广西二联普通高中2024届高三跨市联合适应性训练检测卷

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广西二联普通高中2024届高三跨市联合适应性训练检测卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 复数

2 i (3 - i)

的共轭复数为

A.

2 + 6 i

B.

2 - 6 i

C.

- 2 + 6 i

D.

- 2 - 6 i

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2. 已知集合

A = {2 a - 1, a, 3}, B = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}

, 若

A \cap B \neq \emptyset

, 则

a =

A.

B.

C.

\frac{3}{2}

D.

-1

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3. 已知

f (x)

是定义在

R

上的奇函数, 且当

x ⩾ 0

时,

f (x) = 2^{x} + x + m

, 则

f (- 3) =

A.

-10

B.

-4

C.

D.

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4. 已知

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

是抛物线

C : x^{2} = 8 y

上的两点, 且直线

A B

经过

C

的焦点, 若

y_{1} +

y_{2} = 12

, 则

| A B | =

A.

B.

C.

D.

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5. 已知

f^{'} (x)

是函数

f (x)

的导函数, 若函数

y = e^{f (x)}

的图象大致如图所示, 则

f (x)

的极大值点为

A.

a

B.

b

C.

c

D.

d

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6. 在四面体

A B C D

中,

A B ⊥ B C, A B = 1, A D = C D = 2 \sqrt{2}, B C = \sqrt{15}

, 则四面体

A B C D

外接球的体积为

A.

16 π

B.

\frac{16 π}{3}

C.

32 π

D.

\frac{32 π}{3}

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7. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备, 使产生的废气经过该设备过滤后排放, 以减少对空气的污染. 已知过滤过程中废气的污染物数量

P

(单位:

mg / L

) 与过滤时间

t

(单位;

h

) 的关系为

P (t) = P_{0} e^{- k t} (P_{0}, k

是正常数). 若经过

10 h

过波后减少了

20 %

的污染物, 在此之后为了使得污染物减少到原来的

10 %

还需要的时长大约为(参考数据:

\log_{2} 5 \approx 2.322

)

A.

103 h

B.

93 h

C.

83 h

D.

63 h

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8. 已知

a > 0, b > 1

, 且

e^{2 a} + 2 \ln b + 1 = b^{2} + 2 a

, 则必有

A.

b > e^{a}

B.

\ln b < a

C.

a + \ln b = 1

D.

a + \ln b < 1

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 若点

P (1, 0)

在圆

C : x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + m = 0

的外部, 则

m

的取值可能为

A.

-3

B.

C.

D.

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10. 某地发起“寻找绿色合伙人一一低碳生活知识竞赛”活动, 选取了

n

人参与问卷调查, 将他们的成绩进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间), 得到如图所示的频率分布直方图,且成绩落在

[90, 100)

的人数为 10 , 则

A.

m = 0.01

B.

n = 100

C.

若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表, 则问卷调查成绩的平均数低于 70

D.

问卷调查成绩的

80 %

分位数的估计值为 85

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11. 若数列

{c_{n}}

满足

c_{n + 1} = c_{n}^{2}

, 则称

{c_{n}}

为 “平方递推数列”. 已知数列

{a_{n}}

是 “平方递推数列”, 且

a_{1} > 0, a_{1} \neq 1

, 则

A.

{\lg a_{n}}

是等差数列

B.

{\lg a_{n}}

是等比数列

C.

{a_{n} a_{n + 1}}

是 “平方递推数列”

D.

{a_{n + 1} + a_{n}}

是 “平方递推数列”

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12. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台(1), (2), (3), 从左往右, 若上底面边长、下底面边长、高均依次递增

d cm

, 记正四棱台(1), (2), (3)的侧棱与底面所成的角分别为

α_{1}, α_{2}, α_{3}

, 正四棱台(1),(2),(3)的侧面与底面所成的角分别为

θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}

, 则

A.

\sin α_{1} + \sin α_{3} = 2 \sin α_{2}

B.

\tan α_{1} + \tan α_{3} = 2 \tan α_{2}

C.

\cos θ_{1} + \cos θ_{3} = 2 \cos θ_{2}

D.

\tan θ_{1} + \tan θ_{3} = 2 \tan θ_{2}

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知向量

a = (x, 2), b = (3, 4)

, 若

(a + b) ⊥ b

, 则

x =

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14. 一排 6 个座位坐了 2 个三口之家, 若同一家人座位相邻, 则不同的坐法种数为 (用数字作答)

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15. 已知函数

f (x) = 2 \sin ω x + 1 (ω > 0)

在

[0, π]

上有且仅有 2 个零点, 则

ω

的取值范围为

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16. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的右焦点为

F

, 直线

l : 3 x + 4 y = 0

与

C

相交于

A, B

两点, 若

| A B | = 2 | O F |

(

O

为坐标原点), 则

C

的离心率为

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

c \cos A - a \cos B + c = 0

.
(1) 求

\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A

的值;
(2)若

a = 5

, 求

△ A B C

面积的最大值.

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18. 如图, 在三棱椎

P - A B C

中,

P B ⊥

平面

A B C, A B ⊥ A C, E, F

分别为

P C, P A

的中点, 且

B P

= 2 \sqrt{3}, A B = 3 \sqrt{3}, B C = 6

.
(1)证明: 平面

B E F ⊥

平面

P A B

.
(2) 求平面

B E F

与平面

P E B

夹角的余弦值.

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19. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

S_{n} + 4 = 2 a_{n}

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 求数列

{\frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n + 1}}}

的前

n

项和

T_{n}

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20. 为了促进消费, 某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动: 每位会员客户可在价值 80 元, 90 元, 100 元的

A, B, C

三种商品中选择一种使用积分进行兑换,每 10 积分可兑换 1 元. 已知参加活动的甲、乙两位客户各有 1000 积分,且甲兑换

A, B, C

三种商品的概率分别为

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}

, 乙兑换

A, B, C

三种商品的概率分别为

\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{3}

, 且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率;
(2)记

X

为两人兑换商品后的积分总余额,求

X

的分布列与期望.

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21. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的焦距为

2 \sqrt{3}

, 且

\frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{17}{4}

.
(1)求

C

的方程;
(2)

A

是

C

的下顶点, 过点

P (4, 0)

的直线

l

与

C

相交于

M, N

两点,直线

l

的斜率小于 0 ,

△ A M N

的重心为

G, O

为坐标原点, 求直线

O G

斜率的最大值.

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22. 已知函数

f (x) = e^{x} + a x^{2}

.
(1) 若曲线

y = f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线经过坐标原点, 求

a

的值;
(2) 若关于

x

的方程

f (x) = x + 1

恰有 2 个不同的实数根, 求

a

的取值范围.

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