《概率论与数理统计》期末考试试题及参考答案

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《概率论与数理统计》期末考试试题及参考答案

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A 、 B

均为非零概率事件, 且

A \subset B

成立, 则

A.

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

B.

P (A B) = P (A) P (B)

C.

P (A ∣ B) = \frac{P (A)}{P (B)}

D.

P (A - B) = P (A) - P (B)

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2. 掷三枚均匀硬币, 若

A = {

两个正面, 一个反面

}

, 则有

P (A) =

A.

1 / 2

B.

1 / 4

C.

3 / 8

D.

1 / 8

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3. 对于任意两个随机变量

ξ

和

η

, 若

E (ξ η) = E ξ E η

, 则有

A.

D (ξ η) = D ξ D η

B.

D (ξ^{+} η) = D ξ^{+ D} η

C.

ξ

和

η

独立

D.

ξ

和

η

不独立

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4. 设

P (x) = {\begin{cases} 2 \sin x, x \in [0, A π] \\ 0, x \notin [0, A π] \end{cases}

。若

P (x)

是某随机变量的密度函数, 则常数

A =

A.

1 / 2

B.

1 / 3

C.

D.

3 / 2

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5. 设

(ξ, η)

服从二维正态分布, 则下列说法中错误的是

A.

(ξ, η)

的边际分布仍然是正态分布

B.

由

(ξ, η)

的边际分布可完全确定

(ξ, η)

的联合分布

C.

(ξ, η)

为二维连续性随机变量

D.

ξ

与

η

相互独立的充要条件为

ξ

与

η

的相关系数为 0

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二、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 一、(本题满分 10 分) 某学生无意将自己的铜匙丢掉了，他记得钥匙丢在教室里，宿舍里，操场上，道路上的概率分别为 0.3 ， 0.25 ， 0.35 和 0.1 . 如果钥匙丢在教室里，能被找到的概率为 0.45 ; 如果钥匙丢在宿舍里，能被找到的概率为 0.67 ; 如果钥匙丢在操场上，能被找到的概率为 0.27 ; 如果钥匙丢在道路上，能被找到的概率为 0.12 .
(1) 求该学生找到钥匙的概率 (6 分);
(2) 如果该学生找到了钥匙匙，求他在操场上找到的概率 (4 分).

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7. 某射手对同一目标进行独立射击，他每次射击命中目标的概率为 0.24 ，求该射手至少要射击多少次，才能使至少命中一次目标的概率在

98 %

以上?

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8. 从一副 52 张扑克牌中任意取出 5 张. 设

X

: 取出的 5 张牌中的“黑桃"张数.
(1) 求

X

的分布律 (5 分)；
(2) 写出

X

的分布函数

F (x)

(4 分).

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9. 设随机变量

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cc} a x^{2} + b x + c & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{array}

并且已知

E (X) = 0.5, var (X) = 0.15

，试求系数

a, b, c

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10. 某种型号的电子元件的使用寿命

X

(单位：小时）具有以下的密度函数：

p (x) = {\begin{cases} \frac{1000}{x^{2}} & x > 1000 \\ 0 & x \leq 1000 \end{cases}

(1) 求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率 (4 分)；
(2) 已知某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时，求该元件的使用寿命大于 2000 小时的概率 (5 分).

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11. 设二维随机变量

(X, Y)

联合密度函数为

f (x, y) = {\begin{cases} 1 & 0 < x < 1, 0 < y < 2 x \\ 0 & 其它 \end{cases}

求: (1) 随机变量

Y

边缘密度函数

f_{Y} (y)

(5 分)；
(2) 方差

D (Y)

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12. 游客乘电梯由底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从电梯底层起行，假设一位乘客于上午 8 时第

X

分到达电梯底层候梯处，且随机变量

X

服从区间

[0, 60]

上的均匀分布, 试求该乘客等候时间的数学期望.

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13. 设

G

是由

X

轴、

Y

轴及直线

2 x + y - 2 = 0

所围成的三角形区域，二维随机变量

(X, Y)

在区域

G

内服从均匀分布. 求

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X, Y}

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14. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{θ} x^{\sqrt{θ} - 1} & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{cases}

其中

θ > 0

是末知参数，

(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

是从该总体中抽取的一个样本. 求

θ

的最大似然估计量.

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15. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2}), (X_{1}, X_{2}, \dots

X_{n})

是从总体

X

中抽取的一个简单随机样本.

\bar{X}

与

S^{2}

分别表示样本均值与样本方差. 令

T = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

，求

E (T)

，并指出统计量

T

是否为

μ^{2}

的无偏估计量.

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