单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$, 集合 $M$ 满足 $\complement_U M=\{1,3\}$, 则
$\text{A.}$ $2 \in M$
$\text{B.}$ $3 \in M$
$\text{C.}$ $4 \notin M$
$\text{D.}$ $5 \notin M$
已知复数 $z$ 满足 $(1-\mathrm{i})^2 z=2-4 \mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则复数 $\bar{z}$ 的虚部为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ i
$\text{D.}$ -i
下列函数中, 最小值为 2 的是
$\text{A.}$ $y=x+\frac{2}{x}$
$\text{B.}$ $y=\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}}$
$\text{C.}$ $y=\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$
$\text{D.}$ $y=\sin x+\frac{1}{\sin x}\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$
若 $\tan \alpha=2$, 则 $\dfrac{2 \sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+2 \cos \alpha}$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\dfrac{3}{4}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\dfrac{5}{4}$
长、宽、高分别为 $2, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ 的长方体的外接球的表面积为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $12 \pi$
$\text{C.}$ $24 \pi$
$\text{D.}$ $48 \pi$
如图, 在梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, C D=2, \angle B A D=\frac{\pi}{4}$, 若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$, 则 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C}=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 11
$\text{D.}$ 12
雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片, 在刚刚结束的 2022 到 2023 赛季中国高中篮球联赛女子组 总决赛中, 雅礼中学女篮队员们敢打敢拼, 最终获得了冠军. 在颁奖仪式上, 女篮队员 12 人 (其中 1 人为 队长), 教练组 3 人, 站成一排照相, 要求队长必须站中间, 教练组-人要求相邻并站在边上, 总共有多少种站法
$\text{A.}$ $A_3^3 A_{11}^{11}$
$\text{B.}$ $2 A_3^3 A_{11}^{11}$
$\text{C.}$ $A_3^3 A_4^4 A_7^7$
$\text{D.}$ $2 A_3^3 A_4^4 A_7^7$
已知实数 $\lambda>0$, 记函数构成的集合 $A_\lambda=\left\{m(x)\left|\forall x_1, x_2 \in R,\right| m\left(x_2\right)-m\left(x_1\right)| < \lambda| x_2-x_1 \mid\right\}$. 已知实数 $\alpha$ 、 $\beta>0$, 若 $g(x) \in A_\alpha, h(x) \in A_\beta$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $g(x) \cdot h(x) \in A_{\alpha \beta}$
$\text{B.}$ 若 $h(x) \neq 0$, 则 $\frac{g(x)}{h(x)} \in A_{\frac{\partial}{\beta}}$
$\text{C.}$ $g(x)-h(x) \in A_{u-\beta}$
$\text{D.}$ $g(x)+h(x) \in A_{a+\beta}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知变量 $x, y$ 之间的经验回归方程为 $y=-0.7 x+10.3$, 且变量 $x, y$ 之间的一组相关数据如下表所示, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 变量 $x, y$ 之间成负相关关系
$\text{B.}$ $m=4$
$\text{C.}$ 可以预测, 当 $x=11$ 时, $y$ 约为 2.6
$\text{D.}$ 由表格数据知, 该经验回归直线必过点 $(9,4)$
已知函数 $f(x)=\left|2^x-1\right|$, 实数 $a, b$ 满足 $f(a)=f(b)(a < b)$, 则
$\text{A.}$ $2^a+2^b>2$
$\text{B.}$ $\exists a, b \in R$, 使得 $0 < a+b < 1$
$\text{C.}$ $2^a+2^b=2$
$\text{D.}$ $a+b < 0$
已知 $\bar{A}, \bar{B}$ 分别为随机事件 $A, B$ 的对立事件, $P(A)>0, P(B)>0$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid A=P(A)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid A)=1$
$\text{C.}$ 若 $A, B$ 独立,则 $P(A \mid B)=P(A)$
$\text{D.}$ 若 $A, B$ 互斥,则 $P(A \mid B)=P(B \mid A)$
矩形 $A B C D$ 中, $E$ 为边 $A B$ 的中点, 将 $\triangle A D E$ 沿直线 $D E$ 翻转成 $\triangle A_1 D E$. 若 $M$ 为线段 $A_1 C$ 的中点, 则 在 $\triangle A D E$ 翻转过程中, 正确的命题是
$\text{A.}$ $|B M|$ 是定值
$\text{B.}$ 点 $M$ 在圆上运动
$\text{C.}$ 一定存在某个位置,使 $D E \perp A_1 C$
$\text{D.}$ 一定存在某个位置,使 $M B / /$ 平面 $A_1 D$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$, 则其渐近线方程为
已知甲、乙两支队伍中各有 20 人, 甲队中有 $x(0 < x < 20)$ 个男生与 $20-x$ 个女生, 乙队伍中有 $20-x$ 个 男生与 $x$ 个女生, 若从甲、乙两队中各取 1 个人, $X$ 表示所取的 2 个人中男生的个数, 则当方差 $D(X)$ 取 到最大值时, $x$ 的值为
已知 $y=f(x), x \in R$ 满足 $f(x+2)=f(x-2), f(0)=0$, 当 $x \in(0,4)$ 时, $f(x)=\log _2 \frac{x}{4-x}$. 已知 $g(x)= 2 \sin \left(\frac{\pi}{2} x+\pi\right)$, 则函数 $y=f(x)-g(x), x \in[-4,8]$ 的零点个数为 ________ , 这些零点的和为 ________
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $2 a_2+a_3+a_5=20$, 且前 10 项和 $S_{10}=100$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\frac{1}{a_n a_{n+1}}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B=A C=A A_1=2, \angle B A C=90^{\circ}, E, F$ 依次为 $C_1 C, B C$ 的中点.
(1) 求证: $A_1 B \perp B_1 C$
(2) 求 $A_1 B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.
一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球, 从中随机抽取 50 个作为样本, 称出它们的 质量 (单位: 克), 质量分组区间为 $[5,15),[15,25),[25,35),[35,45]$, 由此得到样本的质量频率分布直方 图如图所示.
(1) 求 $a$ 的值, 并根据样本数据, 试估计盒子中小球质量的众数与平均数;
(2) 从盒子中随机抽取 3 个小球, 其中质量在 $[5,15)$ 内的小球个数为 $X$, 求 $X$ 的分布列和均值. (以直方 图中的频率作为概率)
(1) 已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边. 请用向量方法证明等式 $a^2=b^2+c^2-$ $2 b c \cos A$;
(2) 若三个正数 $a, b, c$ 满足 $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A(0 < A < \pi)$, 证明: 以 $a, b, c$ 为长度的三边可以构成 三角形.
已知抛物线 $x^2=2 p y$, 点 $P(2, 8)$ 在抛物线上, 直线 $y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $M$ 是线段 $A B$ 的中点, 过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$.
(1) 求点 $P$ 到抛物线焦点的距离;
(2) 是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{N A} \cdot \overrightarrow{N B}=0$, 若存在, 求 $k$ 的值; 若不存在, 说明理由.
已知函数 $f(x)=\ln x-x^2+x$.
(1) 证明 $f(x) \leqslant 0$;
(2) 关于 $x$ 的不等式 $\frac{x^2}{\mathrm{e}^{a x^2}}-\frac{x}{\mathrm{e}^x}+\ln x-a x^2+x \leqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.