2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷(老高考)



单选题 (共 12 题 ),每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{-1, i\}, i$ 为虚数单位, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{i} \in A$ $\text{B.}$ $\frac{1-i}{1+i} \in A$ $\text{C.}$ $ i^5 \in A$ $\text{D.}$ $|-i| \in A$

已知集合 $M=\left\{y \mid y=2^x, x>0\right\}, N=\left\{x \mid y=\lg \left(2 x-x^2\right)\right\}$, 则 $M \cap N$ 为
$\text{A.}$ $(1,2)$ $\text{B.}$ $(1,+\infty)$ $\text{C.}$ $[2,+\infty)$ $\text{D.}$ $[1,+\infty)$

如图所示的函数图象与 $x$ 轴均有交点, 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是
$\text{A.}$ (1)(3) $\text{B.}$ (2)(4) $\text{C.}$ (1)(2) $\text{D.}$ (3)(4)

已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 且在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增, 若实数 $a$ 满足 $f\left(2^{a-1 \mid}\right)>f(-\sqrt{2})$, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ $\text{B.}$ $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ $\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$

某流程图如右图所示, 现输入如下四个函数, 则可以输出的函数
$\text{A.}$ $f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$ $\text{B.}$ $f(x)=\frac{\cos x}{x}\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right)$ $\text{C.}$ $f(x)=\frac{|x|}{x}$ $\text{D.}$ $f(x)=x^2 \ln \left(x^2+1\right)$

公比为 2 的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项都是正数, 且 $a_3 a_{11}=16$, 则 $\log _2 a_{10}=$
$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 7

下列命题中是假命题的是
$\text{A.}$ $\exists \varphi \in R$, ,使函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)$ 是偶函数; $\text{B.}$ $\exists \alpha, \beta \in R$ ,使得 $\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha+\cos \beta$; $\text{C.}$ $\exists m \in R$, 使 $f(x)=(m-1) \cdot x^{m^2-4 m+3}$ 是幂函数, 且在 $(0,+\infty)$ 上递减; $\text{D.}$ $\forall a, b \in R^{+}, \lg (a+b) \neq \lg a+\lg b$.

若函数 $f(x)=\frac{d}{a x^2+b x+c}(a, b, c, d \in R)$ 的图象 如图所示, 则 $a: b: c: d=$
$\text{A.}$ $1: 6: 5:(-8)$ $\text{B.}$ $1: 6: 5: 8$ $\text{C.}$ $1:(-6): 5: 8$ $\text{D.}$ $1:(-6): 5:(-8)$

已知函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的一条对称轴为直线 $x=\frac{\pi}{12}$, 则要得到函数 $F(x)=f^{\prime}(x)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的图象, 只需把函数 $f(x)$ 的图象
$\text{A.}$ 沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍 $\text{B.}$ 沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍 $\text{C.}$ 沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍 $\text{D.}$ 沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 纵坐标伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍

若直线 $a x-b y+2=0(a>0, b>0)$ 被圆 $x^2+y^2+2 x-4 y+1=0$ 截得的弦长为 4 , 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\frac{3}{2}+\sqrt{2}$ $\text{D.}$ $\frac{3}{2}+2 \sqrt{2}$

若点 $P$ 是曲线 $y=x^2-\ln x$ 上任意一点, 则点 $P$ 到直线 $y=x-2$ 的最小距离为
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{D.}$ $\sqrt{3}$

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+k\left(1-a^2\right), x \geq 0 \\ x^2+\left(a^2-4 a\right) x+(3-a)^2, x < 0\end{array}\right.$, 其中 $a \in R$, 若对 $\forall x_1 \neq 0$, $\exists x_2\left(x_1 \neq x_2\right)$, 使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ 成立, 则实数 $k$ 的最小值为
$\text{A.}$ -8 $\text{B.}$ -6 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 8

填空题 (共 4 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
计算 $2 \log _5 10+\log _5 0.25= $.

已知 $f(x)=1+\log _2 x(1 \leq x \leq 4)$, 设函数 $g(x)=f^2(x)+f\left(x^2\right)$, 则 $g(x)_{\max }-g(x)_{\min }=$

若函数 $f(x)=x^2$ 的定义域为 $D$, 其值域为 $\{0,1,2,3,4,5\}$, 则这样的函数 $f(x)$ 有 ________ 个. (用数字作答)

如图, 三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上, 边 $G D$ 上有 10 个不同的点 $P_1, P_2, P_3 \ldots \ldots P_{10}$, 则 $\overrightarrow{A F} \cdot\left(\overrightarrow{A P_1}+\overrightarrow{A P_2}+\overrightarrow{A P_3}+\cdots+\overrightarrow{A P_{10}}\right)=$

解答题 (共 8 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量 $\vec{m}=\left(\cos \frac{x}{2},-1\right), \vec{n}=\left(\sqrt{3} \sin \frac{x}{2}, \cos ^2 \frac{x}{2}\right)$, 函数 $f(x)=\vec{m} \cdot \vec{n}+1$.
(1)若 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], f(x)=\frac{11}{10}$, 求 $\cos x$ 的值;
(2) 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 且满足 $2 b \cos A \leq 2 c-\sqrt{3} a$, 求角 $B$ 的取值
范围.

在一个盒子里装有 6 张卡片, 上面分别写着如下定义域为 $R$ 的函数:
$$
\begin{aligned}
& f_1(x)=x+1 \\
& f_2(x)=x^2 \\
& f_3(x)=\sin x \\
& f_4(x)=\log _2\left(\sqrt{x^2+1}+x\right) \\
& f_5(x)=\cos x+|x| \\
& f_6(x)=x \sin x-2
\end{aligned}
$$
(1) 现在从盒子中任意取两张卡片, 记事件 $A$ 为 “这两张卡片上函数相加, 所得新函数是奇函 数”,求事件 $A$ 的概率;
(2) 从盒中不放回逐一抽取卡片, 若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取, 否则继续进 行, 记停止时抽取次数为 $\xi$, 写出 $\xi$ 的分布列, 并求其数学期望 $E \xi$.

如图, 在四棱椎 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是棱形, $\angle B A D=60^{\circ}, A B=2$, $P A=1, P A \perp$ 平面 $A B C D, E$ 是 $P C$ 的中点, $F$ 是 $A B$ 的中点.
(1) 求证: $B E / /$ 平面 $P D F$;
(2) 求证: 平面 $P D F \perp$ 平面 $P A B$;
(3) 求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的锐二面角的大小.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P(2,1)$ 在椭圆 $C$ 上.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2)若点 $A 、 B$ 都在椭圆 $C$ 上, 且 $A B$ 中点 $M$ 在线段 $O P$ (不包括端点) 上. 求 $\triangle A O B$ 面积的最 大值.

已知函数 $f(x)=\ln x-m x(m \in R)$.
(1) 若曲线 $y=f(x)$ 过点 $P(1,-1)$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线方程;
(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最大值;
(3) 若函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$, 求证: $x_1 \cdot x_2>e^2$

选修 4-1: 几何证明选讲 如图, $A B$ 为圆 $O$ 的直径, $P$ 为圆 $O$ 外一点, 过 $P$ 点作 $P C \perp A B$ 于 $C$, 交圆 $O$ 于 $D$ 点, $P A$ 交圆$O$ 于 $E$ 点, $B E$ 交 $P C$ 于 $F$ 点.
(1) 求证: $\angle P=\angle A B E$;
(2) 求证: $C D^2=C F \cdot C P$.

坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 以原点 $O$ 为极点, $O x$ 轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_1$ 的方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1}{\tan \varphi} \\
y=\frac{1}{\tan ^2 \varphi}
\end{array}\right.
$$ ( $\varphi$ 为参数), 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为: $\rho(\cos \theta+\sin \theta)=1$, 若曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 相交于
$A 、 B$ 两点.
(1)求 $|A B|$ 的值;
(2)求点 $M(-1,2)$ 到 $A 、 B$ 两点的距离之积.

不等式选讲
已知函数 $f(x)=|x+1|-|x|+a$.
(1)若 $a=0$, 求不等式 $f(x) \geq 0$ 的解集;
(2)若方程 $f(x)=x$ 有三个不同的解, 求 $a$ 的取值范围.

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