单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ，则 $a_3=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 3
抛物线 $C: y=\frac{x^2}{8}$ 的焦点坐标为
$\text{A.}$ $(0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0)$
$\text{C.}$ $(2,0)$
$\text{D.}$ $(0,2)$
已知向量 $\vec{m}=(1,-1,2)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，向量 $\vec{n}=(-2, k-1,1)$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量，若 $l / / \alpha$ ，则 $k=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
已知点 $A(1,1)$ 在圆 $x^2+(y-a)^2=3$ 内，则实数 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2})$
$\text{B.}$ $(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$
$\text{C.}$ $(0,3)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $S_8=30, S_{16}=92$ ，则 $S_{24}=$
$\text{A.}$ 154
$\text{B.}$ 164
$\text{C.}$ 186
$\text{D.}$ 196
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 是 $C$ 上一点，$P F_1 \perp P F_2$ ， $\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=10 a$ ，则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{14}$
$\text{B.}$ $\sqrt{13}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $S_{12}=273 S_4$ ，且 $S_4 \neq 0$ ，则 $\frac{S_8}{S_4}=$
$\text{A.}$ 17
$\text{B.}$ 18
$\text{C.}$ $\frac{35}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{47}{3}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{n^2}{(n+1)^2} a_n+\frac{1}{n+1}$ ，若对 $\forall n \in N^*, m a_n+\frac{n}{2}+\frac{39}{2 n}+2 \geqslant 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[-16,+\infty)$
$\text{B.}$ $[-14,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-12,+\infty)$
$\text{D.}$ $[-8,+\infty)$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知直线 $l_1: a x-y-1=0, l_2: x-a y+2=0$ ，若 $l_1 / / l_2$ ，则 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离可能为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $a_8 < 0, a_1+a_{14}>0$ ，则
$\text{A.}$ $d < 0$
$\text{B.}$ $S_n$ 中 $S_7$ 最大
$\text{C.}$ 使得 $S_n>0$ 的 $n$ 的最大值为 13
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 是递减数列
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F, A, B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$|A B|=4|B F|=$ 4，动点 $P\left(x_0, y_0\right)\left(y_0 \neq 0\right)$ 在直线 $x=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ 上，直线 $A P$ 与 $C$ 交于另一点 $Q$ ，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线与直线 $P F$ 交于点 $M$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $C$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ 若 $Q F \perp A B$ ，则 $\left|y_0\right|=3$
$\text{C.}$ $\angle Q F P=\angle B F P$
$\text{D.}$ 直线 $M Q$ 与 $C$ 相切
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 3 是 $a$ 与 $b$ 的等差中项， 1 是 $a$ 与 $b$ 的等比中项，则 $a^2+b^2=$
已知抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A(4,1), P$ 是 $C$ 上任意一点，则 $|P A|+|P F|$ 的最小值为
如图，在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E, F$ 分别是 $A A_1, C_1 D_1$ 的中点，$P$ 是线段 $A_1 D_1$ 上的动点，则直线 $A C_1$ 与平面 $P E F$ 所成角的正弦值的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知各项均为正数的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1 a_4=7, S_8=64$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦距为 2 ，点 $\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若直线 $y=\sqrt{2} x+\sqrt{2}$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，$T$ 为线段 $M N$ 的中点，$O$ 为坐标原点，求 $|O T|$ ．
如图，在几何体 $P Q D A B C$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形，$A P \perp$ 平面 $A B C D, Q D / / A P, A B=A P=1$ ， $B C=2, D Q=3$ ．
（1）证明：$P C \perp B Q$ ；
（2）求平面 $B P C$ 与平面 $P C Q$ 夹角的余弦值．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $S_n=2 a_n+2$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $b_n=n a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ；
（3）若 $4 a_p, 2 a_q, a_r$ 成等差数列，其中 $p, q, r$ 为正整数且 $p < q < r$ ，证明：$a_p, a_q, a_r$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中连续的三项．
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x$ ，点 $(2,3)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）设 $A$ 为 $C$ 的右顶点，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $A M \perp A N$ ．
（1）证明：直线 $M N$ 过定点；
（2）若 $M, N$ 都在 $C$ 的左支上，求 $\triangle A M N$ 面积的最小值．