已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F, A, B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$|A B|=4|B F|=$ 4，动点 $P\left(x_0, y_0\right)\left(y_0 \neq 0\right)$ 在直线 $x=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ 上，直线 $A P$ 与 $C$ 交于另一点 $Q$ ，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线与直线 $P F$ 交于点 $M$ ，则下列说法正确的是
A. $C$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. 若 $Q F \perp A B$ ，则 $\left|y_0\right|=3$
C. $\angle Q F P=\angle B F P$
D. 直线 $M Q$ 与 $C$ 相切