已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x$ ，点 $(2,3)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）设 $A$ 为 $C$ 的右顶点，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $A M \perp A N$ ．
（1）证明：直线 $M N$ 过定点；
（2）若 $M, N$ 都在 $C$ 的左支上，求 $\triangle A M N$ 面积的最小值．