解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（2022．全国．统考高考真题）记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_n}{n}+n=2 a_n+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_4, a_7, a_9$ 成等比数列，求 $S_n$ 的最小值．
（2021．全国．统考高考真题）记 $S_n$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_3=S_5, a_2 a_4=S_4$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 $a_n$ ；
（2）求使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值．
（2020•海南•高考真题）已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2+a_4=20, a_3=8$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $a_1 a_2-a_2 a_3+\ldots+(-1)^{n-1} a_n a_{n+1}$ ．
（2020．全国．统考高考真题）设等比数列 $\{a n\}$ 满足 $a_1+a_2=4, a_3-a_1=8$ ．
（1）求 $\{a n\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_n$ 为数列 $\left\{\log _3 a n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_m+S_{m+1}=S_{m+3}$ ，求 $m$ ．
（2023•湖北武汉•统考三模）已知各项均不为零的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=1,2 S_n=a_n a_{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $S_k \leq 2023$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．
（2023•贵州贵阳•校联考三模）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，当 $n \geq 2$ 时，有 $(n-2) a_n-(n-1) a_{n-1}+a_1=0$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_1=20, S_4=56$ ，求 $S_n$ 的最大值．
（2023•江苏南通•统考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{a_n}{2-a_n}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n < 1$ ．
（2023．广西．统考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_1+a_2=6, a_2+a_3=12$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求使 $S_n \leq 14$ 成立的正整数 $n$ 的最大值．
（2023•黑龙江大庆•统考二模）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 1 ，公差为 $d$ 的等差数列，且 $a_1, a_2-1, a_3-1$ 是等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前三项．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=\log _2 \frac{a_n b_n}{a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
（2023．四川南充．统考三模）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=3,2 S_n=3 a_n-3$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$b_n=a_n+\log _3 a_n$ ，记 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求 $T_n$ ．
（2023•湖北武汉•统考模拟预测）已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_n=n a_n, a_2=3$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\left|16-a_n\right|$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
（2023．海南．校联考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为单调递增的等比数列，且 $a_1 a_2 a_3=512, a_3=a_1+12$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=a_n+2 n-1$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
（2023．江西．校联考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2, a_{n+1}=3 a_n+2^n-2$ ．
（1）令 $b_n=a_n+2^n-1$ ，证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
（2023．福建厦门．统考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n}, n \in \mathrm{~N}^*$ ．
（1）证明 $\left\{\frac{a_n-2}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $b_n=\frac{3}{a_n+1}$ ，求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．