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（2023．福建厦门．统考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n}, n \in \mathrm{~N}^*$ ．
（1）证明 $\left\{\frac{a_n-2}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $b_n=\frac{3}{a_n+1}$ ，求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
                        
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