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（2023•湖北武汉•统考三模）已知各项均不为零的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=1,2 S_n=a_n a_{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $S_k \leq 2023$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．
                        
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