单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}, a_3=3$ ，则 $a_{2023}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 3
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}+1$ ，则 $a_9=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2^{10}-1}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2^9-1}$
$\text{C.}$ $2^{10}-1$
$\text{D.}$ $2^9-1$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $a_1=2, S_n=S_{n+1}-3 a_n-2, S_{20}=$（）
$\text{A.}$ $\frac{3^{20}}{2}$
$\text{B.}$ $3^{21}-20$
$\text{C.}$ $\frac{3^{20}}{2}-\frac{43}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3^{21}}{2}-\frac{43}{2}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_n+a_{n+1}=5$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 11 项的和 $S_{11}=$
$\text{A.}$ 22
$\text{B.}$ 27
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 55
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 各项均为正数，$a_1=3$ ，且有 $a_{n+1}=3-\frac{2}{a_n}$ ，则 $a_n=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2^n-1}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2^n-1}$
$\text{C.}$ $4-\frac{1}{2^n-1}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2^n-1}+2$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$\forall n \in \mathbf{N}^*, a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2 a_n+1}$ ，且 $2 < a_1 < 3$ ，则下列结论成立的是
$\text{A.}$ $a_{2022} < a_{2020}$
$\text{B.}$ $a_{2020}+a_{2022}>a_{2021}+a_{2023}$
$\text{C.}$ $a_{2022}+a_{2023} < 2 a_{2021}$
$\text{D.}$ $a_{2023}>a_{2021}$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
已知递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正整数，且其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则
$\text{A.}$ 存在公差为 1 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ ，使得 $S_{14}=2023$
$\text{B.}$ 存在公比为 2 的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ ，使得 $S_3=2023$
$\text{C.}$ 若 $S_{10}=2023$ ，则 $a_4, 285$
$\text{D.}$ 若 $S_{10}=2023$ ，则 $a_{10} \ldots 208$
已知数列 $\left\{p_n\right\}$ 和 $\left\{q_n\right\}$ 满足：$p_1=1, q_1=2, p_{n+1}=p_n+3 q_n, q_{n+1}=2 p_n+q_n, n \in \mathrm{~N}^*$ ，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ 数列 $\left\{p_n-\frac{\sqrt{6}}{2} q_n\right\}$ 是公比为 $1+\sqrt{6}$ 的等比数列
$\text{B.}$ 仅有有限项使得 $2 p_n>\sqrt{6} q_n$
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\left|2 p_n q_n-\sqrt{6} q_n^2\right|\right\}$ 是递增数列
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\left|p_n-\frac{\sqrt{6}}{2} q_n\right|\right\}$ 是递减数列
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $a_1=1, a_2=2$ ，且 $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$（ $n$ 为正整数），则 $a_{2023}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=4$ 且 $a_{n+1}=S_n+4\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=(-1)^{n+1} \frac{2 n+1}{n \log _2 a_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $a_n>0, S_n=\frac{\left(a_n+2\right) a_n}{4}$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项积 $T_n=2^{n^2}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 1 ，前 $n$ 项和 $S_n=n^2$ ；
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\left(a_n+1\right) \cdot 2^n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_n=a n^3+b n^2\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，且 $a_1=0, a_2=4$
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\sum_{n=1}^{2023} \frac{1}{a_n+8 n-2}$ 的值．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=3, a_3$ 是 $5 a_2$ 与 9 的等差中项，记 $S_n$ 为数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n+1}=k S_n+\frac{1}{3}(k>0)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\frac{\lambda}{\frac{1}{2}-S_n} \geq 3 n-8$ ，求实数 $\lambda$ 的最小值．
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_n=2^{n+1}-2\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\frac{2^n}{\left(a_n-1\right)\left(a_{n+1}-1\right)}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=a n^2+b n(a, b \in \mathbf{R})$ ，且 $a_2=3, a_6=11$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{S_n S_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_n=n a_n, a_2=3$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\left|16-a_n\right|$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足关系式 $\frac{6 S_1}{a_1+3}+\frac{6 S_2}{a_2+3}+\mathrm{L}+\frac{6 S_n}{a_n+3}=S_n, n \in \mathbf{N}^*$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $T_n=(-1)^{s_1} a_1+(-1)^{s_2} a_2+\mathrm{L}+(-1)^{s_n} a_n, n \in \mathbf{N}^*$ ，证明 $\left|T_n\right| < 4 n, n \geq 3$ ．