已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=3, a_3$ 是 $5 a_2$ 与 9 的等差中项，记 $S_n$ 为数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n+1}=k S_n+\frac{1}{3}(k>0)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $\frac{\lambda}{\frac{1}{2}-S_n} \geq 3 n-8$ ，求实数 $\lambda$ 的最小值．