甘肃省张掖市2022-2023学年高三上第一次月考（老教材）理科

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甘肃省张掖市2022-2023学年高三上第一次月考（老教材）理科

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知命题

p : \forall x ⩾ 1, \ln x ⩾ \sqrt{x} + 1

, 则

\neg p

为

A.

\exists x < 1, \ln x < \sqrt{x} + 1

B.

\exists x ⩾ 1, \ln x < \sqrt{x} + 1

C.

\exists x ⩾ 1, \ln x ⩾ \sqrt{x} + 1

D.

\forall x < 1, \ln x < \sqrt{x} + 1

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2. 已知集合

A = {x ∣ y = \ln (2 - x)}, B = {x ∣ x^{2} < 9}

, 则

B \cap (∁_{R} A) =

A.

(- 3, 2]

B.

[- 3, 2)

C.

(2, 3]

D.

[2, 3)

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3. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} f (x + 1) - f (x + 2), x ⩽ 0, \\ x^{2} - 4, x > 0, \end{cases} g (x) = \log_{a} x (a > 0

且

a \neq 1)

, 若

f (0) = g (8)

, 则

a =

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

D.

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4. 我们知道, 人们对声音有不同的感觉, 这与声音的强度有关系. 声音的强度常用

I

(单位: 瓦

/

米

^{2}

, 即

W / m^{2}

) 表示, 但在实际测量时, 声音的强度水平常用

L

(单位: 分贝) 表示, 它们满足换算公式:

L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}} (L ⩾ 0

, 其中

I_{0} = 1 \times 10^{- 12} W / m^{2}

是人们能听到的最小声音的强度, 是听觉的开端). 若使某小区内公共场所声音的强度水平降低 10 分贝 , 则声音的强度应变为原来的

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{1}{100}

C.

\frac{1}{10}

D.

\frac{1}{20}

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5. “

\ln a < \ln b

”是“

a^{\frac{1}{3}} < b^{\frac{1}{3}}

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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6. 已知函数

f (x) = a x^{3} + b x + 3 (a, b \in R)

. 若

f (2) = 5

, 则

f (- 2) =

A.

B.

C.

D.

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7. 已知函数

f (x) = \frac{d}{a x^{2} + b x + c} (a, b, c, d \in R)

的图象如图所示, 则下列判断正确的是

A.

a > 0, b > 0, c < 0, d > 0

B.

a < 0, b > 0, c < 0, d > 0

C.

a < 0, b > 0, c > 0, d > 0

D.

a > 0, b < 0, c > 0, d > 0

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8. 若偶函数

f (x)

在

(- \infty, 0]

上单调递减,

a = f (\log_{2} 3), b = f (\log_{4} 5), c = f (2^{\frac{3}{2}})

, 则

a, b, c

满足

A.

a < b < c

B.

b < a < c

C.

c < a < b

D.

c < b < a

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9. 已知函数

f (x)

满足: 当

x ⩽ a

时,

f (x) = x^{3} - x

, 且

f (a + x) = f (a - x)

. 若函数

f (x)

恰有 5 个零点, 则

a =

A.

- 2

B.

- 1

C.

0

D.

1

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10. 已知函数

f (x) = e^{4 x - 1}, g (x) = \frac{1}{2} + \ln 2 x

, 若

f (m) = g (n)

成立, 则

n - m

的最小值为

A.

\frac{1 - \ln 2}{4}

B.

\frac{2 \ln 2 - 1}{3}

C.

\frac{1 + \ln 2}{4}

D.

\frac{1 + 2 \ln 2}{3}

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11. 已知定义在

R

上的连续奇函数

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

, 当

x > 0

时,

f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0

, 则使得

2 x f (2 x) + (1 - 3 x) f (3 x - 1) > 0

成立的

x

的取值范围是

A.

(\frac{1}{5}, 1)

B.

(- 1, \frac{1}{5}) \cup (1, + \infty)

C.

(1, + \infty)

D.

(- \infty, 1)

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12. 定义 “函数

y = f (x)

是

D

上的

a

级类周期函数”如下: 函数

y = f (x), x \in D

, 对于给定的非零常数

a

, 总存在非零常数

T

, 使得定义域

D

内的任意实数

x

都有

a f (x) = f (x + T)

恒成立, 此时

T

为

f (x)

的周期. 若

y = f (x)

是

[1, + \infty)

上的

a

级类周期函数, 且

T = 1

, 当

x \in [1, 2)

时,

f (x) = 2^{x} (2 x + 1)

, 且

y = f (x)

是

[1, + \infty)

上的单调递增函数, 则实数

a

的取值范围为

A.

[\frac{5}{6}, + \infty)

B.

[2, + \infty)

C.

[\frac{10}{3}, + \infty)

D.

[10, + \infty)

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知函数

f (x) = (x + 1) (x + a) x^{4}

为

R

上的偶函数, 则

a =

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14. 若函数

y = 2 x^{3} + 1

与

y = 3 x^{2} - b

的图象在一个公共点处的切线相同, 则实数

b =

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15. 函数

f (x) = \frac{\ln x}{x} - x

在区间

(0, e]

上的最大值是

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16. 设函数

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x

, 集合

M = {x ∣ f (x) < 0}, P = {x ∣ f^{'} (x) < 0}

, 若

P ⫋ M

, 则实数

a

的取值构成的集合是

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设函数

f (x) = \sqrt{4^{x} - 32}

的定义域为集合

A

, 集合

B = {x ∣ x^{2} + a x - 6 < 0}

.
(1)若

a = - 5

, 求

A \cap B

;
(2)若

3 \notin B

, 且

- 2 \notin B

, 求

(∁_{R} A) ⋂ (∁_{R} B)

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18. 已知函数

f (x) = x^{2} + b x - 1

有两个零点

x_{1}, x_{2}

, 且

x_{1}, x_{2}

的倒数和为

- 1

.
(1) 求函数

f (x)

的解析式;
(2) 若在区间

[- 2, 1]

上, 不等式

f (- x) > 2 x - m

恒成立, 求实数

m

的取值范围.

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19. 已知

p

: 函数

y = \ln (m x^{2} - 4 x + m)

的定义域为

R, q

: 存在

x \in [0, \frac{1}{2}]

, 使得不等式

x^{2} - x + m - \frac{5}{4} ⩾ 0

成立.
(1) 若

p

为真, 求实数

m

的取值范围;
(2) 若

(\neg p) \lor q

为真且

(\neg p) \land q

为假, 求实数

m

的取值范围.

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20. 已知函数

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{2 - a x}{x - 2} (a \in R)

的图象关于原点对称.
(1) 当

x \in (2, + \infty)

时,

f (x) + \log_{\frac{1}{2}} (x - 2) < m

恒成立, 求实数

m

的取值范围;
(2) 若关于

x

的方程

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x + k)

在

(2, 5]

上有解, 求实数

k

的取值范围.

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21. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2}, g (x) = eln x

.
(1) 设函数

F (x) = f (x) - g (x)

, 求

F (x)

的单调区间;
(2) 若存在常数

k, m

, 使得

f (x) ⩾ k x + m

, 对

x \in R

恒成立, 且

g (x) ⩽ k x + m

, 对

x \in (0, + \infty)

恒成立, 则称直线

y = k x + m

为函数

f (x)

与

g (x)

的 “分界线”, 试问:

f (x)

与

g (x)

是否存在“分界线”? 若存在,求出“分界线”的方程; 若不存在, 请说明理由.

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22. 已知函数

f (x) = a e^{x} - x + 1 (a \in R)

.
(1) 讨论函数

f (x)

的零点的个数;
(2) 若

f (x)

有两个不同的零点

x_{1} 、 x_{2}

, 证明:

x_{1} + x_{2} > 4

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