定义 “函数 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的 $a$ 级类周期函数”如下: 函数 $y=f(x), x \in D$, 对于给定的非零常数 $a$, 总存在非零常数 $T$, 使得定义域 $D$ 内的任意实数 $x$ 都有 $a f(x)=f(x+T)$ 恒成立, 此时 $T$ 为 $f(x)$ 的 周期. 若 $y=f(x)$ 是 $[1,+\infty)$ 上的 $a$ 级类周期函数, 且 $T=1$, 当 $x \in[1,2)$ 时, $f(x)=2^x(2 x+1)$, 且 $y=f(x)$ 是 $[1,+\infty)$ 上的单调递增函数, 则实数 $a$ 的取值范围为