单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $A=\{4,5,7,9\}, B=\{3,4,7,8,9\}$, 全集 $U=A \cup B$, 则集 合 $\complement_{U}(A \cap B)$ 中的元素共有（）
$\text{A.}$ 3 个
$\text{B.}$ 4个
$\text{C.}$ 5 个
$\text{D.}$ 6 个
已知 $\frac{\bar{Z}}{1+\mathrm{i}}=2+\mathrm{i}$, 则复数 $z=$ （ ）
$\text{A.}$ $-1+3 i$
$\text{B.}$ $1-3 i$
$\text{C.}$ $3+\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $3^{-} \mathrm{i}$
不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right| < 1$ 的解集为 （ ）
$\text{A.}$ $\{x \mid 0 < x < 1\} \cup\{x \mid x>1\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 0 < x < 1\}$
$\text{C.}$ $\{\mathbf{x} \mid-1 < \mathbf{x} < 0\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x < 0\}$
已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相 切, 则该双曲线的离心率为 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
甲组有 5 名男同学, 3 名女同学; 乙组有 6 名男同学、 2 名女同学. 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学, 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同 选法共有（）
$\text{A.}$ 150 种
$\text{B.}$ 180 种
$\text{C.}$ 300 种
$\text{D.}$ 345 种
设 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 是单位向量, 且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, 则 $(\vec{a}-\vec{c}) \cdot(\vec{b}-\vec{c})$ 的最小值为 （ ）
$\text{A.}$ $-2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}-2$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $1-\sqrt{2}$
已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等, $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 $D$ 为 $B C$ 的中点, 则异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角的余弦值为 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
如果函数 $y=3 \cos (2 x+\phi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{4 \pi}{3}, 0\right)$ 中心对称, 那么 $|\phi|$ 的最小值为 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
已知直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切, 则 $a$ 的值为 （ ）
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $-2$
已知二面角 $\alpha-1-\beta$ 为 $60^{\circ}$, 动点 $P 、 Q$ 分别在面 $\alpha 、 \beta$ 内, $P$ 到 $\beta$ 的距离为 $\sqrt{3}, Q$ 到 $\alpha$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$, 则 $P 、 Q$ 两点之间距离的最小值为 （ ）
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $2\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $4$
函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 若 $f(x+1)$ 与 $f(x-1)$ 都是奇函数, 则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)=f(x+2)$
$\text{D.}$ $f(x+3)$ 是奇函数
已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 的右焦点为 $\mathrm{F}$, 右准线为 $\mathrm{I}$, 点 $\mathrm{A} \in \mathrm{I}$, 线段 $\mathrm{AF}$ 交 $C$ 于点 $B$, 若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$, 则 $|\overrightarrow{A F}|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
( $x-y)^{10}$ 的展开式中, $x^{7} y^{3}$ 的系数与 $x^{3} y^{7}$ 的系数之和等于 （ ）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{9}=81$, 则 $a_{2}+a_{5}+a_{8}=$ （ ）
直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上, 若 $A B=A C=A A_{1}=2$, $\angle B A C=120^{\circ}$, 则此球的表面积等于 （ ）
若 $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, 则函数 $y=\tan 2 x \tan ^{3} x$ 的最大值为 （ ）
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 内角 $A 、 B 、 C$ 的对边长分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $a^{2}-c^{2}=2 b$
, 且 $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$, 求 $b$.
如图, 四棱雉 S- $A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为矩形, $S D \perp$ 底面 $A B C D$, $A D=\sqrt{2}, D C=S D=2$, 点 $M$ 在侧棱 $S C$ 上, $\angle A B M=60^{\circ}$
(I) 证明: $M$ 是侧棱 SC 的中点;
(II)求二面角 $\mathrm{S}-\mathrm{AM}-\mathrm{B}$ 的大小.
甲、乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利, 比赛结束, 假设在一局中, 甲获胜的概率为 $0.6$, 乙获胜的概率为 $0.4$, 各局比赛结果相互独立, 已知前 2 局中, 甲、乙各胜 1 局.
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率;
（II ) 设 $\xi$ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数, 求 $\xi$ 的分布列及数学期 望.
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$.
（1）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.
如图, 已知抛物线 $E: y^{2}=x$ 与圆 $M:(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交 于 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个点.
( I ) 求 $\mathrm{r}$ 的取值范围;
(II ) 当四边形 $A B C D$ 的面积最大时, 求对角线 $A C 、 B D$ 的交点 $P$ 的坐标.
设函数 $f(x)=x^{3}+3 b x^{2}+3 c x$ 有两个极值点 $x_{1} 、 x_{2}$, 且 $x_{1} \in[-1,0]$, $x_{2} \in[1,2] .$
(1) 求 b、c 满足的约束条件, 并在下面的坐标平面内, 画出满足这些条件的点 （b,c c) 的区域;
(2) 证明: $-10 \leqslant \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}$.