一、单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
1. 选择题：设 $A \in M_{m, n}$ ，且 $m < n$ ．则
$\text{A.}$ $\left|A A^{ T }\right|=0$
$\text{B.}$ $\left|A A^{ T }\right| \neq 0$
$\text{C.}$ $\left|A^{ T } A\right|=0$
$\text{D.}$ $\left|A^{ T } A\right| \neq 0$
二、填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
2. 下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。
（1） $\beta$ 不能被 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性表出．则 $\alpha _1, \cdots, \alpha _s, \beta$ ，线性无关．
（2）如果 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 不全为 0 时，使 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s \neq 0$ ，则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性无关
（3）如果有一组全为 0 的数 $k_1, k_2 \cdots k_s$ ，使 $k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s= 0$ ， 则 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 线性无关．
3. 下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。
（1） $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m(m>2)$ 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关。
（2）若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关．则 $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _1$ 也线性无关．
4. 下列命题是否正确？若正确．证明之，若错误，举出反例或说明理由。
（1）若 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关，则 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$ 也线性无关。
（2）如 $r\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right)=r\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$ ，则 $\alpha _4$ 必可被 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出．
三、解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
5. 讨论向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的线性相关性，其中 $\alpha _1=(1,0,2$ ， $3)^{ T }, \alpha _2=(1,1,3,5), \alpha _3=(1,-1, a+2,1)^{ T }, \alpha _4=(1,2,4, a+9)^{ T }$ 。
6. 已知 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $r(A)$ 和 $A$ 的相抵标准形。
7. 设 $A \in M_n, r(A)=1$ ．求证：
（1）$A=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$（其中 $a_i$ 不全为 $0, b_i$ 也不全为 $0, i=1$ ， $2, \cdots, n)$ ．
（2）$A^2=k A$（ $k$ 为常数）．
8. 设 $A, B \in M_n$ ．且 $A^2-2 A B=I$ ，求 $r(A B-B A+A)$
9. 设 $A \in M_{m, n}, B \in M_{n, k}$ ，且 $r(B)=n, A B=0$ ，证明 $A=0$ ．
10. 设 $A \in M_{n, m}, B \in M_{m, n}$ ，其中 $n < m$ ，且 $A B= I _n$ ，证明 $B$ 的列向量组线性无关。
11. 设 $A \in M_n$ ，且 $A^2=I_n$ ，求证 $r(A+I)+r(A-I)=n$ ．
12. 设 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵．求证：
（1）$r\left(A^*\right)= \begin{cases}n, & r(A)=n, \\ 1, & r(A)=n-1, \\ 0, & r(A) < n-1 ;\end{cases}$
（2）$\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$ ．
13. 设 $A \in M_{m, n},(m>n), r(A)=n$ ，证明存在矩阵 $B \in M_{n, m}$ ，使 $B A=I_n$
14. 设 $A \in M_{m, k}, B \in M_{k, n}$ ，求证：$r(A B) \geqslant r(A)+r(B)-k$ ．
四、证明题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15. 证明向量组 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$ 线性无关的充分必要条件是向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关。
16. 设 $A \in M_n$ ．若存在正整数 $k$ ，使 $A_\alpha^k= 0$ ．且 $A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，其中 $\alpha \in$ $R ^n$ 。证明向量组 $\alpha , A \alpha , \cdots, A^{k-1} \alpha$ 线性无关。
17. 设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性相关．向量组 $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关．问
（1） $\alpha _1$ 能否由 $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性表出。证明你的结论。
（2） $\alpha _4$ 能否由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出？证明你的结论。
18. 证明 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m$（其中 $\alpha _1 \neq 0$ ）线性相关的充分必要条件是，至少有一个 $\alpha _i(1 < i \leqslant m)$ 可被 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _{i-1}$ 线性表出，且表出系数惟一。
19. 设向量组（I） $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 可被向量组（II）： $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _t$ 线性表出，证明 $r( I ) \leqslant r(I I)$ 。
20. 已知向量组（I）： $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ ，（II）： $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ ，（III）： $\alpha _1$ ， $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _5$ 。如果 $r(I)=r(I I)=3 . r($ III $)=4$ ．求 $r\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4+ \alpha _5\right)$ ．
21. 设向量组 $\alpha _1=(1,1,1,3)^{ T } . \alpha _2=(-1,-3,5,1)^{ T } \alpha _3=(3,2$ ， $-1, P+2)^{ T }, \alpha _4=(-2,-6,10, p)^{ T }$ 。
（1）$p$ 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 $\alpha =(4,1,6,10)^{ T }$用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性表出。
（2）$p$ 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表出。