李永乐武忠祥宋浩陈默等著2023考研数学最后三套过线急救版（数学一）

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李永乐武忠祥宋浩陈默等著2023考研数学最后三套过线急救版（数学一）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f^{'} (x_{0}) = 0, f^{''} (x_{0}) < 0

, 则必定存在一个

δ > 0

, 使得

A.

函数

y = f (x)

在

(x_{0} - δ, x_{0}]

单调增加, 在

[x_{0}, x_{0} + δ)

单调减少.

B.

函数

y = f (x)

在

(x_{0} - δ, x_{0}]

单调减少,在

[x_{0}, x_{0} + δ)

单调增加.

C.

函数

y = f (x)

在

(x_{0} - δ, x_{0} + δ)

内是凸的.

D.

函数

y = f (x)

在

(x_{0} - δ, x_{0} + δ)

内是凹的.

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2. 设函数

f (x)

可导,

g (x) = {\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{| x |} + \frac{1}{| x |} \sin^{2} x, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, F (x) = f [g (x)]

, 则

F (x)

在

x = 0

点可导的充分必要条件是

A.

f^{'} (0) = 0

B.

f^{'} (0) \neq 0

C.

f (0) = 0

D.

f (0) \neq 0

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3. 设常数

α > 0, β > 0

, 若反常积分

\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{1}{(- \cos x)^{α} (1 + \cos x)^{β}} d x

收敛, 则

A.

0 < α < 1, 0 < β < 1

B.

0 < α < \frac{1}{2}, 0 < β < \frac{1}{2}

C.

0 < α < 1, 0 < β < \frac{1}{2}

D.

0 < α < \frac{1}{2}, 0 < β < 1

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4. 设

Σ

为直线

L : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}

绕

z

轴旋转一周而成的曲面, 均匀几何体

Ω

是

Σ

位于

z = 0

与

z = 1

之间的部分, 则几何体

Ω

的形心为

A.

(\frac{1}{2}, 0, 0)

B.

(0, 0, \frac{9}{16})

C.

(0, 0, \frac{3}{4})

D.

(\frac{3}{4}, 0, 0)

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5. 设

A

为

m \times n

矩阵,

B

为

n \times s

矩阵, 则齐次线性方程组

B x = 0

与

A B x = 0

同解的充分条件是

A.

r (A) = m

B.

r (A) = n

C.

r (B) = n

D.

r (B) = s

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6. 设

A, B

为

n

阶可逆矩阵, 且满足

A B = A + B

, 则下面结论:
(1)

A + B

可逆;(2)

A B = B A

; (3)

A - E

可逆; (4)

(B - E) x = 0

有非零解.
正确的共有

A.

1 个.

B.

2 个.

C.

3 个.

D.

4 个.

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7. 若二次曲面的方程

x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} + 2 a x y + 2 x z + 2 y z = 2

经过正交变换化为

y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} = 2

, 则

a =

A.

B.

C.

D.

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8. 三个随机事件

A, B, C

相互独立的充分条件是

A.

A, B, C

两两独立.

B.

P (A + B + C) = 1 - P (\bar{A}) P (\bar{B}) P (\bar{C})

C.

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

D.

P (B - A) = 1

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9. 一批产品共 20 件, 其中 15 件正品, 5 件次品, 现有放回地抽取, 每次只取一件, 直到取得正品为止. 假定每件产品被抽取的机会相等, 则抽取次数是奇数的概率以及平均抽取次数分别为

A.

\frac{2}{3}, \frac{4}{3}

B.

\frac{1}{3}, \frac{3}{4}

C.

\frac{1}{5}, \frac{3}{4}

D.

\frac{4}{5}, \frac{4}{3}

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10. 已知

X \sim N (0, 4)

, 样本

X_{1}, X_{2}

取自总体

X

, 则统计量

T = \frac{{(X_{1} - X_{2})}^{2}}{{(X_{1} + X_{2})}^{2}}

服从的分布是

A.

F (1, 1)

B.

χ^{2} (1)

C.

N (0, 1)

D.

t (1)

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 1}{x^{2} + y^{2}} = 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 h, 0) - f (0, h)}{h} =

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12. 设

φ (u)

为连续函数, 且

\int_{y}^{x} φ (t - x - y) d t = x^{2} + y^{2} + z

, 则

y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} =

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13. 设空间曲线

L

的方程为

{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 1 \\ x + 2 y + z = 1 \end{cases}

, 从

z

轴正向看是顺时针方向, 则

\oint_{L} \frac{- y d x + x d y + z (x^{2} + 4 y^{2}) d z}{x^{2} + 4 y^{2}} =

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14. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 则二重积分

I = \iint \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + y} d x d y =

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15. 设

A, B

都是 3 阶矩阵, 存在可逆矩阵

P

, 使

A P = P B

, 且

A

满足

A^{2} - A - 2 E = O, | A | + 1 <

0 , 则

| (3 B)^{- 1} - {(\frac{1}{2} B)}^{\cdot} | =

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16. 一个口袋中有 3 个白球、 5 个黑球, 每次从中取一球, 且取后放回, 重复抽取

n

次. 已知在取白球

k

次的条件下, 事件

B

发生的概率为

\frac{k}{n}

, 则

P (B) =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

lim_{x \to 0} \frac{(1 + a x + b x^{2}) e^{x} - c}{x - \sin x} = d

, 求常数

a, b, c, d

的值.

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18. I ) 设

x > 0

, 证明: 函数

f (x) = \frac{\ln (1 + x) - x}{x^{2}}

单调递增;
(II) 设

0 < x < 1

, 证明不等式:

x - \frac{1}{2} x^{2} < \ln (1 + x) < x + (\ln 2 - 1) x^{2}

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19. 设位于第一象限的平面曲线

L : y = y (x)

过点

A (0, \sqrt{2} - 1)

, 且

y^{'} (x) > 0

, 又

M (x, y)

为曲线

L

上的任意一点, 且弧段

A M

的长度与点

M

处

L

的切线在

x

轴上的截距之差为

\sqrt{2} - 1

.
( I ) 求

y = y (x)

所满足的微分方程和初始条件;
(II) 求曲线

L

的表示式.

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20. 计算曲面积分

I = \oint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是曲面

2 x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} = 4

的外侧.

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21. 已知二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = {(x_{1} + x_{3})}^{2} + {(x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3})}^{2} + {(x_{1} - a x_{2} - 2 x_{3})}^{2}

.
(I) 求方程

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0

的解;
(II) 求

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的规范形;
(III) 当

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0

有非零解时, 确定常数

a

, 使矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 1 & a & - 2 \\ 2 & - 2 & 9 \end{array})

为正定矩阵, 并求
二次型

g (x) = x^{T} A x

在

x^{T} x = 2

下的最大值.

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22. 设随机变量

X

与

Y

相互独立, 且分布函数分别为
(I) 求

X

的概率分布;
（II) 若

p = \frac{1}{4}

, 求

P {X + Y ⩽ \frac{1}{2}}

;
(III) 若

p

末知,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自总体

X

的简单随机样本, 求

p

的最大似然估计量.

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