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设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分布函数分别为
(I) 求 $X$ 的概率分布;
（II) 若 $p=\frac{1}{4}$, 求 $P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}$;
(III) 若 $p$ 末知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 求 $p$ 的最大似然估计量.
【答案】 【解】( I ) 由分布函数 $F_X(x)$ 知: $X$ 是离散型随机变量, 且
$$
P\{X=0\}=1-p, P\{X=1\}=1-(1-p)=p \text {. }
$$
$X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1$.


(II) 当 $p=\frac{1}{4}$ 时, $P\{X=0\}=\frac{3}{4}, P\{X=1\}=\frac{1}{4}$. 则
$$
\begin{aligned}
P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}\right\} &=P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}, X=0\right\}+P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}, X=1\right\} \\
&=P\left\{Y \leqslant \frac{1}{2}, X=0\right\}+P\left\{Y \leqslant-\frac{1}{2}, X=1\right\} \\
&=\frac{3}{4} P\left\{Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}+\frac{1}{4} P\left\{Y \leqslant-\frac{1}{2}\right\}=\frac{3}{4} \times \frac{1+\frac{1}{2}}{2}+\frac{1}{4} \times 0=\frac{9}{16} .
\end{aligned}
$$

(III) 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是样本的一次观测值, 由
可得似然函数
$$
P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1 .
$$
$$
L(p)=\prod_{i=1}^n P\left\{X=x_i\right\}=\prod_{i=1}^n p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}=p^{\sum_{i=1}^n x_i}(1-p)^{n-\sum_{i=1}^n x_i},
$$
取对数得
$$
\ln L(p)=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) \ln p+\left(n-\sum_{i=1}^n x_i\right) \ln (1-p),
$$
令 $\frac{\mathrm{d} \ln L(p)}{\mathrm{d} p}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{p}-\frac{n-\sum_{i=1}^n x_i}{1-p}=0$, 解得 $\hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$,
所以 $p$ 的最大似然估计量为 $\hat{p}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i=\bar{X}$.

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