单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{(x, y) \mid x-y=0\}, B=\left\{(x, y) \mid x-y^2=0\right\}$, 则 $A$ $\cap \mathrm{B}=$
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{(0,1)\}$
$\text{C.}$ $\{(0,0),(1,1)\}$
$\text{D.}$ $\varnothing$
若 $a>b>0>c$, 则
$\text{A.}$ $(a-b) c>0$
$\text{B.}$ $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$
$\text{C.}$ $a-b>a-c$
$\text{D.}$ $\frac{1}{a+c} < \frac{1}{b+c}$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n>0$, 则 $\frac{S_6-S_3}{a_2+a_8}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知 $a$ 为第三象限角, 且 $\cos 2 a=\frac{1}{3}$, 则 $\cos a=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $a_1>0$ 的无穷等比数列, 则 “ $\left\{a_n\right\}$ 为递增数列” 是 “ $\forall k$ $\geqslant 2$ 且 $k \in N^*, a_k>a_1{ }^*$ 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知非零向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 的夹角正切值为 $2 \sqrt{6}$, 且 $(\mathbf{a}+3 \mathbf{b}) \perp(2 \mathbf{a}-\mathbf{b})$, 则 $\frac{|a|}{|b|}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ 1
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $a: b: c=2$ :1 $3: 4$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{15}}{12} a^2$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{12} b^2$
$\text{C.}$ $\frac{a^2}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{b^2}{12}$
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}$, 不等式 $\frac{f(x)}{x} < 0$ 的解集为 $\left(\frac{3(1-\sqrt{5})}{2}, 0 \right) \cup\left(0, \frac{3(1+\sqrt{5})}{2}\right)$, 则不等式 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leqslant-27$ 的解集为
$\text{A.}$ $\{x \mid x \leqslant-3$ 或 $x=3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x \leqslant 3\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid x \geqslant-3\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x \geqslant 3$ 或 $x=-3\}$
若 $2^a=3^b=6^c$ 且 $a b c \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $\frac{a}{c}-\frac{a}{b}=1$
$\text{B.}$ $\frac{b}{a}-\frac{b}{c}=1$
$\text{C.}$ $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=1$
$\text{D.}$ $\frac{a}{b}$ $-\frac{b}{c}=1$
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$, 则
$\text{A.}$ $f(2) < f(0) < f(-2)$
$\text{B.}$ $f(0) < f(-2) < f(2)$
$\text{C.}$ $f (-2) < f(0) < f(2)$
$\text{D.}$ $f(0) < f(2) < f(-2)$
对任意实数 $x$, 定义 $[x]$ 为不大于 $x$ 的最大整数, 如 $[0,2]=0,\left[\begin{array}{ll}1 & 5\end{array}\right]$ $=1,[2]=2$. 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=[\mathrm{x}] \cdot \sin \pi x$, 则方程| $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mid=3$ $-\frac{x}{50}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的实根个数为
$\text{A.}$ 290
$\text{B.}$ 292
$\text{C.}$ 294
$\text{D.}$ 296
已知点 $P$ 在曲线 $y=-\frac{1}{x}(x>0)$ 上运动, 过 $P$ 点作一条直线与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 交于点 $\mathrm{A}$, 与直线 $\mathrm{y}=\sqrt{e}(x-1)$ 交于点 $\mathrm{B}$, 则 | | $\mathrm{PA}$ | - । PB । $\mid$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{e}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{e}+1$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \sqrt{\frac{e}{e+1}}$
$\text{D.}$ $\sqrt{\frac{e}{e+1}}$
在平行四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\overrightarrow{A E}=\lambda \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\mu \overrightarrow{A B}, \lambda \mu>0$, 且 $\mathrm{E}$, $\mathrm{C}, \mathrm{F}$ 三点共线, 则 $\lambda+\mu$ 的最小值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 9
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_3=2, a_5=4$, 则 $a_{11}=$
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数, 满足 $\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-\right.
\mathrm{x}), \mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)=3$, 且 $f^{\prime}(x) \sin x+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cos \mathrm{x}>0$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内恒成 立 $\left(f^{\prime}(x)\right.$ 为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的导函数), 若不等式 $\mathrm{f}(4 \pi+\mathrm{x}) \sin (3 \pi-\mathrm{x})$ $\leqslant a$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围为
设 $-1=a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_7$, 其中 $a_1, a_3, a_5 ， a_7$ 成公差为 $d$ 的等差数列, $a_2, a_4, a_6$ 成公比为 3 的等比数列, 则 $d$ 的最小值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 角 $a, \beta, \gamma(a, \beta, \gamma \in(0,2 \pi))$ 的 顺点在原点, 始边
均与 $\mathrm{x}$ 轴正半轴重合, 角 $a$ 的终边经过点 $\mathrm{A}(-1,2)$, 角 $\beta$ 的终边 烃过点 B $(3,4)$.
(I) 求 $\tan (a-\beta)$ 的值;
(II) 若角 $y$ 的终边为 $\angle A O B$ (锐角) 的平分线, 求 $\sin ^2 Y$ 的值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均不为 0 , 其前 $n$ 项的乘积 $T_n=2^{n-1} \cdot a_{n+1}$.
(I) 若 $\left\{a_n\right\}$ 为常数列, 求这个常数;
(II) 若 $a_1=4$, 设 $b_n=\log _2 a_n$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式.
如图所示, 在平面四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{ADC}=\frac{\pi}{2}, \angle \mathrm{BCD}=\frac{\pi}{4}, 5 \mathrm{BC}$ $=2 \sqrt{2} \mathrm{CD}, \mathrm{AB}$ $=\sqrt{10}, \quad \mathrm{AD}=3$.
(1)求 $\tan \angle \mathrm{BDC}$ 的值;
(2) 求 BD.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=1, S_{n+1}=4 a_n$.
(I) 证明: 数列 $\left\{\frac{S_n}{2^{n-1}}\right\}$ 为等差数列;
(II) 求数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-1+\frac{a}{e^x}$ 的最小值为 1 .
(I) 求实数 $\mathbf{a}$ 的值;
(II) 若直线 $l: y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点, 求实数 $k$ 的 取值范围。
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}+\mathrm{x}(\mathrm{x}-3)$.
(I) 讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性;
(II) 若存在 $x_1, x_2, x_3 \in(0,+\infty)$, 且 $x_1 < x_2 < x_3$, 使得 $f\left(x_1\right)=$ $f\left(x_2\right)=f\left(x_3\right)$, 求证: $2 x_1+x_2>x_3$.