九年级数学期中考试试卷及解答

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九年级数学期中考试试卷及解答

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 下列方程是关于

x

的一元二次方程的是 ( )

A.

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 0

B.

a x^{2} + b x + c = 0

C.

(x - 1) (x + 2) = 0

D.

3 x^{2} - 2 x y - 5 y^{2} = 0

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2. 抛物线

y = x^{2} + 4 x + 4

与

x

轴的交点情况是 ( )

A.

没有交点

B.

有唯一的交点

C.

有两个不同的交点

D.

以上结果都有可能

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3. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}

, 将 Rt

△ A B C

绕点

C

按顺时针方向旋转一定角度得到 Rt

△ D E C

, 点

D

恰好落在边

A B

上. 若

∠ B = 20^{\circ}

, 则

∠ B C E

的度数为

A.

20^{\circ}

B.

40^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

80^{\circ}

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4. 将一元二次方程

x^{2} - 6 x + 5 = 0

配方后, 原方程变形为

A.

(x - 6)^{2} = 5

B.

(x - 3)^{2} = 4

C.

(x - 6)^{2} = 4

D.

(x - 3)^{2} = 5

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5. 已知二次函数的图象如图所示, 那么此函数的解析式只可能是（）

A.

y = - x^{2} + x + 3

B.

y = - x^{2} - 3 x - 3

C.

y = - x^{2} - x + 3

D.

y = x^{2} + x + 3

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6. 三角形两边的长是 4 和 9 , 第三边满足方程

x^{2} - 24 x + 140 = 0

, 则三角形周长为 ( )

A.

B.

C.

23 或 27

D.

以上都不对

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7. 将抛物线

y = - 2 x^{2} + 3

先向右移动 5 个单位长度, 再向上移动 5 个单位长度到的新拋物线的函数表达式是 (）

A.

y = - 2 (x + 3)^{2} - 2

B.

y = - 2 (x + 3)^{2} + 8

C.

y = - 2 (x - 5)^{2} - 2

D.

y = - 2 (x - 5)^{2} + 8

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8. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

的图象如图所示, 对称轴为直线

x = 1

, 与

x

轴的一个交点为

(3, 0)

. 下列结论:
(1)

b^{2} - 4 ac < 0

;
(2)

4 a + 2 b + c > 0

;
(3)图象与

x

轴的另一个交点为

(- 1, 0)

;
(4)当

x > 0

时, y 随

x

的增大而小,
所有正确结论的序号是 ()

A.

(1) (3)

B.

(1) (4)

C.

(2) (3)

D.

(2)(4)

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 若函数

y = (m - 1) x^{m^{2} + 1} - x - 20

是二次函数, 则

m

的值为

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10. 方程

2 (x + 1)^{2} = (x + 2) (x - 2)

化为一般形式为

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11. 已知二次函数

y

与自变量

x

的部分对应值如表:

则此抛物线的顶点坐标为

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12.

△ A O B

与

△ C O D

关于公共顶点

O

成中心对称, 连接

A D 、 B C

, 则四边形

A B C D

是（　　）形.

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13. 已知函数

y = - (x - 1)^{2}

图象上两点

A (2, y_{1}) B (a, y_{2})

, 其中

a > 2

, 则

y_{1} y_{2}

(填

><

或

=)

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14. 已知二次函数

y = x^{2} - a x + 4

的图象与直线

y = a x

有且只有 1 个交点, 则

a

的值为

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15. 已知

⊙ O

的直径

A B = 10, C D

是

⊙ 0

的弦,

C D ⊥ A B

, 垂足为点

E

, 若

C D = 6

, 则线段

AE

的长为

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16. 某农机厂四月份生产零件 50 万个, 第二季度共生产零件 182 万个, 设该厂五、六月份平均每月的增长率

x

, 依题意列方程, 化为一般形式为

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17. 已知二次函数

y = x^{2} + 4 x - 6

.
(1) 将二次函数的解析式化为

y = a (x - h)^{2} + k

的形式;
(2) 写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

18. 已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦

A B

交小圆于点

C, D

(如图).
(1) 求证:

A C = B D

;
(2) 若大圆的半径

R = 10

, 小圆的半径

r = 8

, 且圆心 0 到直线

AB

的距离为 6 , 求

AC

的长.

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19. 关于

x

的一元二次方程

k x^{2} + 5 x - 2 = 0

有两个实数根.
(1) 求实数

k

的取值范围;
(2) 若方程两实根

x_{1} 、 x_{2}

满足

x_{1} + x_{2} - x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 1

, 求

k

的值.

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20. 如图,

△ ABC

三个顶点的坐标分别为

A (1, 1), B (4, 2), C (3, 4)

.
(1) 请画出

△ ABC

向左平移 6 个单位长度, 再向下平移 5 个单位长度后得到的

△ A_{B} B_{I} C_{1}

;
(2) 请画出

△ ABC

绕原点逆时针旋转

90^{\circ}

后得到的

△ A_{3} B_{2} C_{2}

;
(3) 在平面内有一动点

P

, 使得以点

P 、 A 、 B 、 C

为顶点的四边形是平行四边形, 满足条件的点

P

的个数为（　　）个, 它们的坐标分别是（　　）

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21. 如图,

⊙ 0

的直径

AB

为 10 厘米, 弦

AC

为 6 厘米,

∠ ACB

的平分线交

⊙ O

于

D

.
(1) 连接

AD, BD

, 判断

△ ABD

的形状, 并说明理由;
(2) 求弦 CD 的长.

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22. 为满足市场需求, 某服装超市在六月初购进一款短袖

T

恤衫, 每件进价是 80 元, 超市规定每件售价不得少于 90 元, 根据调查发现: 当售价定为 90 元时, 每周可卖出 600 件, 一件 T 恤衫售价每提高 1 元, 每周要少卖出 10 件.
(1) 试求出每周的销售量

y

(件) 与每件售价

x

元之间的函数表达式; (不需要写出自变量取值范围）
(2) 该服装超市每周想从这款 T 恤衫销售中获利 8250 元, 又想尽量给客户实惠, 该如何给这款 T 恤衫定价?
(3) 超市管理部门要求这款

T

恤衫售价不得高于 110 元, 则当每件

T

恤衫售价定为多少元，每周的销售利润最大?最大利润是多少?

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23. 如图, 已知抛物线

y = x^{2} + b x + c

的对称轴为直线

x = - 1

. 抛物线与

x

轴相交于

A

B

两点, 点

A

在点

B

的左侧, 点

C (0, - 3)

为拋物线与

y

轴的交点.
(1) 求

b

和

C

的值;
(2) 在抛物线的对称轴上存在一点

P

, 使

P B + P C

最短, 请求出点

P

的坐标;
(3) 抛物线上是否存在一点

Q

, 使

△ Q O A

的面积等于

△ B O C

的面积的 4 倍? 若存在. 求出点Q所有的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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