题号:2707    题型:解答题    来源:九年级数学期中考试试卷及解答
如图, 已知抛物线 $y=x^2+b x+c$ 的对称轴为直线 $x=-1$. 抛物线与 $x$ 轴相交于 $\mathrm{A}$, $B$ 两点, 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧, 点 $C(0,-3)$ 为拋物线与 $y$ 轴的交点.
(1) 求 $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{C}$ 的值;
(2) 在抛物线的对称轴上存在一点 $P$, 使 $P B+P C$ 最短, 请求出点 $P$ 的坐标;
(3) 抛物线上是否存在一点 $Q$, 使 $\triangle Q O A$ 的面积等于 $\triangle B O C$ 的面积的 4 倍? 若存在. 求出 点Q所有的坐标; 若不存在, 请说明理由.
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答案:
解: (1) 将点 $\mathrm{C}(0,-3)$ 代入拋物线得 $\mathrm{c}=-3$
$\because$ 拋物线对称轴 $x=-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}=-\frac{\mathrm{b}}{2}=-1, \quad \therefore \mathrm{b}=2$
(2) 由 (1) 知抛物线的解析式为 $\mathrm{y}=x^2+2 x-3$
令 $\mathrm{y}=0$ 得方程 $x^2+2 x-3=0$, 即 $(x-1)(x+3)=0$
解得
$\therefore A$ 点坐标 $(-3,0), B$ 点坐标 $(1,0)$
$\because$ 点 $A$ 点 $(-3,0)$ 为点 $B$ 关于对称轴 $x=-1$ 的对称点
$\therefore$ 连接 $\mathrm{AC}$ 交对称轴于点 $\mathrm{P}$, 此时 $\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ 最短, 最小值 为 $\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=\mathrm{PA}+\mathrm{PC}=\mathrm{AC}$ 长

设直线 $A C$ 的解析式为 $y=k x+d$, 分别代入 $A$ 点 $(-3,0), C$ 点 $(0,-3)$ 得: $\left\{\begin{array}{c}-3 \mathrm{k}+\mathrm{d}=0 \\ \mathrm{~d}=-3\end{array}\right.$, 解得 $\mathrm{k}=-1, \mathrm{~d}=-3$, 即直线 $\mathrm{AC}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-x-3$ 将 $x=-1$ 代入直线 $\mathrm{AC}: \mathrm{y}=-x-3$ 得 $\mathrm{y}=-2$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{P}$ 的坐标为 $(-1,-2)$
(3) 由 (1)、(2) 知 $O \mathrm{OB}=1, O \mathrm{C}=3$,
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle b 0}-\frac{1}{2} 0 \mathrm{~B} \times 0 \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times 1 \times 3-\frac{3}{2}$
设 $Q$ 点坐标为 $\left(t, t^2+2 t-3\right)$
$\because \mathrm{S}_{\triangle \cos }=\frac{1}{2} \times 0 A \times\left|\mathrm{t}^2+2 \mathrm{t}-3\right|=\frac{1}{2} \times 3 \times\left|\mathrm{t}^2+2 \mathrm{t}-3\right|=4 \mathrm{~S}_{\triangle B c}-4 \times \frac{3}{2}=6$
$\therefore\left|t^2+2 t-3\right|=4$
当 $t^2+2 t-3=4$ 时, 解得 $t=-1 \pm 2 \sqrt{2}$, 此时 $Q$ 点坐标为 $(-1-2 \sqrt{2}, 4) 、(-1+2 \sqrt{2}, 4)$
当 $t^2+2 t-3=-4$ 时, 解得 $t=-1$, 此时 $Q$ 点坐标为 $(-1,-4)$
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