题号:2705    题型:解答题    来源:九年级数学期中考试试卷及解答
如图, $\odot 0$ 的直径 $\mathrm{AB}$ 为 10 厘米, 弦 $\mathrm{AC}$ 为 6 厘米, $\angle \mathrm{ACB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于 $\mathrm{D}$.
(1) 连接 $\mathrm{AD}, \mathrm{BD}$, 判断 $\triangle \mathrm{ABD}$ 的形状, 并说明理由;
(2) 求弦 CD 的长.
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答案:
(1) $\because A B$ 为直径, $D$ 点在圆上, $\therefore \angle A D B=90^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$ 为直角三角形
或 $\because O \mathrm{OA}=\mathrm{OD}=\mathrm{OB}, \quad \therefore \angle \mathrm{DAO}=\angle \mathrm{ADO}, \angle \mathrm{DBO}=\angle \mathrm{ODB}$
又 $\because \angle \mathrm{DAO}+\angle \mathrm{ADO}+\angle \mathrm{DBO}+\angle \mathrm{ODB}=180^{\circ}$

$\therefore 2 \angle A D O+2 \angle O D B=180^{\circ}, \therefore \angle A D B=\angle A D O+\angle O D B=90^{\circ}$, 故 $\triangle \mathrm{ABD}$ 为直角三角形



(2) 过 $A$ 作 $A M \perp C D$ 于 $M$, 过 $B$ 作 $B N \perp C D$ 于 $N$,
$\because \mathrm{AB}$ 为 $\odot 0$ 的直径, $\therefore \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$, 由勾股定理知 $\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^2-\mathrm{AC}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
$\because \mathrm{CD}$ 平分 $\angle \mathrm{ACB}, \therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BCD}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle A M C 、 \triangle B N C$ 为等腰直角三角形, $\angle A B D=\angle A C D=45^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$ 为等腰直角三角形, $\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{AB}=5 \sqrt{2}$
$\therefore \mathrm{AM}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{AC}=3 \sqrt{2}, \quad \mathrm{BN}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{BC}=4 \sqrt{2}$
$\therefore \frac{1}{2}(\mathrm{AC} \times \mathrm{BC}+\mathrm{AD} \times \mathrm{BD})=\frac{1}{2}(\mathrm{CD} \times \mathrm{AM}+\mathrm{CD} \times \mathrm{BN})$
即 $6 \times 8+5 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2}=\mathrm{CD} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 6+\mathrm{CD} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 8$
解得 $\mathrm{CD}=7 \sqrt{2}$
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