2025届福建百校高三10月联考数学试题答案

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2025届福建百校高三10月联考数学试题答案

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设集合

M = {- 2, 4, 7}, N = {x ∣ x^{2} - 3 x - n = 0}

, 若

M \cap N = {4}

, 则

N =

A.

{- 3, 4}

B.

{2, 4}

C.

{1, 4}

D.

{- 1, 4}

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2. 命题 "

\exists x \in [- 1, 2], \frac{1}{2} x^{2} - a ⩽ 0

" 是真命题的一个充分不必要条件是

A.

a ⩾ 0

B.

a ⩾ - 3

C.

a ⩽ 0

D.

a ⩾ 3

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3. 已知奇函数

f (x) = (2^{x} + m \cdot 2^{- x}) \cos x

, 则

m =

A.

-1

B.

C.

D.

\frac{1}{2}

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4. 若函数

h (x) = \ln x - 2 a x

在

[1, 3]

上不单调, 则实数

a

的取值范围为

A.

(\frac{1}{6}, \frac{1}{2})

B.

[\frac{1}{6}, \frac{1}{2}]

C.

(- \infty, 1)

D.

(\frac{1}{6}, + \infty)

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5. 已知

\sin α + \sqrt{3} \cos α = \frac{2}{3}

, 则

\cos (4 α + \frac{π}{3}) =

A.

- \frac{63}{65}

B.

- \frac{17}{81}

C.

\frac{24}{25}

D.

\frac{4}{5}

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6. 设

S_{n}

是数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 且

a_{1} = 1, S_{n} = (2 S_{n} + 1) S_{n + 1}

, 则

\frac{a_{5}}{S_{11}} =

A.

- \frac{1}{2}

B.

- \frac{2}{3}

C.

- 2

D.

- \frac{3}{4}

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7. 已知函数

f (x) = e^{2 x} - 2 a e^{x} - 4 a^{2} x (a > 0)

, 若函数

f (x)

的值域与

f (f (x))

的值域相同, 则

a

的取值范围是

A.

(0, \frac{1}{2})

B.

(0, 1]

C.

[\frac{1}{2}, + \infty)

D.

(1, + \infty)

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8. 已知

ω > 0

, 函数

f (x) = \sin ω x

与

g (x) = \cos ω x

的图像在

[π, 2 π]

上最多有两个公共点, 则

ω

的取值范围为

A.

(0, \frac{17}{8}) \cup (\frac{9}{4}, \frac{21}{8})

B.

(0, \frac{5}{4}] \cup (\frac{9}{4}, \frac{17}{8}]

C.

(0, \frac{1}{4}] \cup (\frac{5}{4}, \frac{17}{8})

D.

(0, \frac{17}{8}] \cup (\frac{9}{4}, \frac{5}{2})

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 若

a, b \in R

, 则下列命题正确的是

A.

若

a b \neq 0

且

a < b

, 则

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

B.

若

a < b

, 则

a^{3} < b^{3}

C.

若

a | a | < b | b |

, 则

a < b

D.

若

a > b > 0

, 则

\frac{b + 1}{a + 1} < \frac{b}{a}

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10. 已知函数

φ (x)

的定义域为

R

, 对于

\forall x, y \in R

, 恒有

φ (x + y) = φ (x) + φ (y) - t

, 且当

x > 0

时,

φ (x) < t

, 则下列命题正确的有

A.

φ (0) = t

B.

φ (x) = φ (2 t - x)

C.

φ (- 2024) = 2 t - φ (2024)

D.

\forall x \neq y \in R, (x - y) [φ (x) - φ (y)] < 0

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11. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, (3 n + 2) S_{n + 1} + (3 n - 1) S_{n - 1} = (6 n + 1) S_{n} (n \in N

, 且

n ⩾ 2)

,若

a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{5}

, 则下列说法正确的是

A.

a_{5} = \frac{1}{14}

B.

数列

{\frac{1}{a_{n}}}

为等差数列

C.

数列

{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}^{2}}}

中的最小项为 12

D.

数列

{\frac{(- 1)^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}}

的前

2 n

项和

T_{2 n}

为

18 n^{2} + 12 n

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 函数

y = \log_{2024} (a x^{2} + x + 1)

的值域为

R

, 则实数

a

的取值范围是

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13. 已知

a_{1} = 1, a_{2} = 2

, 且

a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}

(

n

为正整数), 则

a_{2029} =

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14. 已知不等式

\frac{a + 2 \ln x - 2}{x^{2}} ⩽ e^{x} - \frac{1}{x}

恒成立, 则实数

a

的取值范围为

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四、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) - \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)

.
(1) 当

ω = 2

时,求

f (x)

的对称轴方程和最大值;
(2) 若

ω \in N^{\cdot}

, 且

f (x)

在区间

(- \frac{π}{2}, 0)

上单调递增, 求

f (x)

在区间

(0, \frac{4 π}{3})

上的极值点个数。

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16. 已知函数

f (x) = \log_{2} [4^{x} + (a + 2) \cdot 2^{x} + a + 1]

.
(1) 若

a = 0

, 求满足

2 < f (x) < 4

的

x

的取值范围;
(2)若对任意

x ⩾ 1, f (x) ⩾ x

恒成立, 求

a

的取值范围.

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17. 已知函数

f (x) = \cos x + a x - 1

.
(1) 当

a = 1

时, 求曲线

y = f (x)

在点

(π, f (π))

处的切线方程;
(2) 当

a = \frac{1}{2}

时, 求

f (x)

在区间

(0, + \infty)

上的零点个数.

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18. 设

S_{n}, T_{n}

分别为数列

{a_{n}}, {b_{n}}

的前

n

项和,

2 a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2^{n + 1}}, a_{1} = \frac{3}{4}

, 数列

{b_{n}}

是公比为

- \frac{2}{3}

的等比数列,

8 S_{2} = 9 T_{2}

.
(1) 求

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;
(2) 比较

S_{n}

和

T_{n}

的大小.

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19. 如图, 在求解一些函数零点的近似值时, 常用牛顿切线法进行求解. 牛顿切线法的计算过程如下: 设函数

f (x)

的一个零点

x_{0}

, 先取定一个初值

x_{1}

, 曲线

y = f (x)

在

x = x_{1}

处的切线为

l_{1}

, 记

l_{1}

与

x

轴的交点横坐标为

x_{2}

, 曲线

y = f (x)

在

x = x_{2}

处的切线为

l_{2}

, 记

l_{2}

与

x

轴的交点横坐标为

x_{3}

, 以此类推, 每进行一次切线求解, 我们就称之为进行了一次迭代, 若进行足够多的迭代次数, 就可以得到

x_{0}

的近似值

x_{n} (n \in N^{*})

, 设函数

f (x) = x^{3} + x - 1

, 令

x_{1} = 1

.
(1) 证明:

f (x)

存在唯一零点

x_{0}

, 且

\frac{2}{3} < x_{0} < 1

;
(2) 已知

x_{n} > \frac{2}{3}

, 证明:

| x_{n + 1} - x_{0} | < {| x_{n} - x_{0} |}^{2}

;
(3) 经过 4 次迭代后,判断

x_{0}

的近似值

x_{5}

与

x_{0}

的差值小于

10^{- 1}

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