已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$.
(1) 当 $\omega=2$ 时,求 $f(x)$ 的对称轴方程和最大值;
(2) 若 $\omega \in N ^{\cdot}$, 且 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上单调递增, 求 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{4 \pi}{3}\right)$ 上的极值点个数。