解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解.
解微分方程 $x y^{\prime}+y \ln y=0$ ；
解方程 $y^{\prime}-x y^{\prime}=a\left(y^2+y^{\prime}\right)$ ；
$\frac{d y}{d x}-y \tan x=\sec x,\left.\quad y\right|_{x=0}=0$ ；
$\frac{d y}{d x}+y \cot x=5 e^{\cos x},\left.\quad y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ；
$x y^{\prime} \ln x+y=a x(\ln x+1)$
一半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面积 $S$ 成正比，比例系数 $K>0$ ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？