解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解.
解微分方程 $x y^{\prime}+y \ln y=0$ ；
解方程 $y^{\prime}-x y^{\prime}=a\left(y^2+y^{\prime}\right)$ ；
$\frac{d y}{d x}-y \tan x=\sec x,\left.\quad y\right|_{x=0}=0$ ；
$\frac{d y}{d x}+y \cot x=5 e^{\cos x},\left.\quad y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ；
$x y^{\prime} \ln x+y=a x(\ln x+1)$