单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
交换积分次序，则二次积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{\sqrt{x}}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{x^2} f(x, y) d y$
设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 的取值有关
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算积分 $\iint_D x \sqrt{y} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{x}, y=x^2$ 所围成的闭区域．
计算积分 $\iint_D \frac{x^2}{y^2} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=\frac{1}{x}, x=2$ 所围成的闭区域．
设数列 $\left\{n a_n\right\}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)$ 都收敛．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛．
判断下列级数的敛散性
（3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^3}$ ；
（4）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ ；