单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
交换积分次序，则二次积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{\sqrt{x}}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_x^{x^2} f(x, y) d y$
设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 的取值有关
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算积分 $\iint_D x \sqrt{y} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{x}, y=x^2$ 所围成的闭区域．
计算积分 $\iint_D \frac{x^2}{y^2} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=\frac{1}{x}, x=2$ 所围成的闭区域．
设数列 $\left\{n a_n\right\}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)$ 都收敛．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛．
判断下列级数的敛散性
（3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^3}$ ；
（4）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ ；
判断下列级数的敛散性
（5）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）；
（6）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n!}{n^n}$（常数 $a>0$ ）．
讨论下列级数的敛散性．
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ ，其中 $p$ 为常数；
（2）$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^q n}$ 其中 $q$ 为常数．
判断下列级数的收敛性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ ；
判断下列级数的收敛性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n}$ ．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{4 n-1} x^{2 n-1}$ 的收敛半径、收敛区间与收敛域．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{2^n \cdot n}$ 的收敛域．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-5 x+6}$ 展开成 $x+1$ 的幂级数．
设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，周长为 $a$ ，则 $\oint_L\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) d s$ ．
求 $\int_L\left[e^x \sin y-b(x+y)\right] d x+\left(e^x \cos y-a x\right) d y$ 其中 $a, b$ 为正的常数，$L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧．
计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x d y-y d x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心、 $R$ 为半径的圆周 $(R>1)$ ，取逆时针方向．