填空题 （共 17 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解为
已知方程 $\mathrm{e}^x=k x$ 有且仅有一个实根, 则 $k$ 的取值范围为
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{y}{x}=-1$ 的通解为
常微分方程 ${ }^a y^{\prime}+2 x y=2 x$ 的通解为
已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 $y=x e^x$, 则该方程为:
微分方程 $x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0$, 满足 $y_{\mid x=2}=1$ 的特解是 ________ .
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=2 y^2 \ln x$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的特解为 $y=$
微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}-6 y=0$ 的通解是
微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=0$ 的通解为函数
解微分方程 $x y^{\prime}-y=x^3$.
$y^{\prime \prime}+\sqrt{1-y^{\prime 2}}=0$, 则通解
微分方程 $x^2 \frac{d y}{d x}=2 x y+3$ 的通解是
常微分方程 $y^{\prime}+2 x y=2 x$ 的通解为。
求微分方程的通解．
（1）$d y=x y d x$ ；
（2）$x d y=y d x$
微分方程 $\left(y+x^3\right) d x-2 x d y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足 $y(1)=1$ 的解是 $y=$ $\qquad$ ．
设微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+a y=-5 \mathrm{e}^{-x}$ 的特解形式为 $A x \mathrm{e}^{-x}$ ，则其通解为 $\qquad$ ．
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 的通解．
微分方程 $y^{\prime \prime}-\frac{1}{x} y^{\prime}-x e ^x=0$ 的通解为 $\qquad$ ．