单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{1}{x-y^2}$ 满足条件 $y(2)=0$ 的特解是
$\text{A.}$ $x= e ^y+y^2+2 y+2$.
$\text{B.}$ $x= e ^y+y^2+2 y$.
$\text{C.}$ $x=y^2+2 y+2$.
$\text{D.}$ $x= e ^y+1$.
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x, \quad\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数 $)$ 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0 \text {. }$
下列方程中， ________ 是齐次方程。
$\text{A.}$ $\frac{d y}{y^2-2 x y}=\frac{d x}{x^2-x y+y^2}$
$\text{B.}$ $y^{\prime}=\frac{1}{x-y^2}$
$\text{C.}$ $(2 x-y+3) d y=(x-2 y+1) d x$
$\text{D.}$ $\frac{x}{2+y} d y=\frac{y}{2+x} d x$
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设 $k$ 为任意常数, 微分方程 $y^{\prime}=2 x \tan y$ 的通解是
$\text{A.}$ $-\ln \sin y=x^2+k$
$\text{B.}$ $\quad \sin y=k e^{z^2} \quad(k \neq 0)$
$\text{C.}$ $\ln \sin y=k x^2$
$\text{D.}$ $\ln k \sin y=x^2(k>0)$
下列微分方程中：一阶线性微分方程的个数是（ ）．
（1）$(x y+1) d x-x d y=0$ ，
（2）$x^2+y^{\prime}=0$ ，
（3）$x^2+y y^{\prime}=1$ ，
（4）$x^2 y^{\prime}+y^{\prime \prime}=1$ ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3+12 y=\sin x$ 的阶是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
方程 $e^y-y^{\prime}=\frac{1}{x}$ 的通解为
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
求微分方程的通解．
（1）$d y=x y d x$ ；
（2）$x d y=y d x$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解微分方程：
（1）$y^{\prime}=\frac{1+x}{x} y$ ；
（2）$y^{\prime}=\frac{y}{1+x^2}$ ，其中 $y(0)=\pi$
设函数 $y=y(x)$ 有方程 $x y^2+\sin \frac{\pi}{2}=y e^x$ 所确定，求 $y^{\prime}(0)$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^3+y^{\prime}$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-8 y=0$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-e^{2 x}=0$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x \cos 2 x$ 的一个特解．
（仅数学一）求微分方程 $\cos y \frac{d y}{d x}-\sin y= e ^x$ 的通解．
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left( e ^x \sin y\right)$ 满足方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= e ^{2 x} z$ ，求 $f(u)$ ．