解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域与和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域及和函数.
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ 敛散性，如果收敛求其和
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^n}$ ；
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot x^n}{(2 n+1)!}$ ；
将函数展开成幂级数．$f(x)=\sin x$ ，在点 $x=\frac{\pi}{4}$ 处；
判断无穷级数 $\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}+\cdots$ 的敛散性．
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性．
求幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和函数．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数．
求幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{n}$ 的收敛域及和函数．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} x^n$ 的收敛域及和函数．
判断下列级数的收敛性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ ；
判断下列级数的收敛性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n}$ ．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{2^n \cdot n}$ 的收敛域．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-5 x+6}$ 展开成 $x+1$ 的幂级数．