单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点是
$\text{A.}$ $(0,0)$.
$\text{B.}$ $(0,3)$.
$\text{C.}$ $(3,0)$.
$\text{D.}$ $(1,1)$.
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数, 且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$, 已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点, 下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$.
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$.
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$.
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$, 则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$.
设函数 $f(x, y)=1-x^2+y^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值.
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值.
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点.
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点.
设函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续,则下列命题中, 正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(1,0)$ 与沿 $(-1,0)$ 的方向导数均存在, 则偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$存在.
$\text{B.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 存在,则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(-1,0)$ 的方向导数等于 $-f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$.
$\text{C.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在。
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的偏导数均存在.
设函数 $z=z(x, y)$ 由 $z+\ln z-\int_y^x e^{-t^2} d t=0$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}-e^{-y^2}\right)$
$\text{B.}$ $\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}+e^{-y^2}\right)$
$\text{C.}$ $-\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}-e^{-y^2}\right)$
$\text{D.}$ $-\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}+e^{-y^2}\right)$
设 $u=2 x y-z^2$ ，则 $u$ 在点 $(2,-1,1)$ 处的方向导数的最大值是（ ）．
$\text{A.}$ $2 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $4 \sqrt{6}$
$\text{D.}$ $\{-2,4,-2\}$
设函数 $F$ 连续可偏导，且 $z=z(x, y)$ 由 $F\left(x^2-z^2, y^2-z^2, x^2+y^2\right)=0$ 确定，则 $y \frac{\partial z}{\partial x}- x \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_2^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{C.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{x y\left(F_2^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$ ，则 $d f(1,1)=$
一个雪球开始融化，假设它将时刻保持球形，且体积的融化率与表面积成正比, 若在最初的一个小时内, 其体积缩减为原来的 $\frac{1}{8}$ 。计算雪球全部融化所需的时间。
函数 $f(x, y)=2 x+6 y-x^2-y^2$ 的驻点为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=z(x, y)$ 是由
$$
x^2-6 x y+10 y^2-2 y z-z^2+18=0
$$
确定的函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点和极值.
求函数 $f(x, y)=x^2+y^2-x y$ 在区域 $D:|x|+|y| \leq 1$ 上的最大值。