单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $(0,0)$ 处 $\qquad$
$\text{A.}$ 偏导数不存在
$\text{B.}$ 偏导数存在，但不可微
$\text{C.}$ 可微但偏导数不连续
$\text{D.}$ 偏导数连续
下列函数中，连续但不可微的是
$\text{A.}$ $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (x y)}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & x=y=0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $z=\sin \left(x^2+y^2\right)$
$\text{C.}$ $f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & x=y=0 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $z=(1+x y) e^{x y}$ ．
设 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f(u)$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\left[\begin{array}{ll} & ]\end{array}\right.$
$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$ ．
$\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$ ．
$\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$ ．
$\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x, y, z)=\sqrt[z]{\frac{x}{y}}$ ，则 $d f(1,1,1)=$
设 $u=x^y y^z z^x$ ，求 $d u$ ．
设 $z=x^y$ ，则 $\left.d z\right|_{\substack{x=e \\ y=1}}=$
设 $z=f\left( e ^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 有二阶连续偏导数，求 d 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right), f$ 具有一阶连续偏导数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
函数 $\ln \left(x^2+y^2\right)$ 的全微分是
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=y f\left(\frac{y}{x}\right)+x g\left(\frac{x}{y}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数, 求 $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ $=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 具有二阶连续导数，求
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}
$$
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 确定，求在点 $P(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ ．
已知 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=1$ ，且当 $x=0$ 时，$z=\sin y$ ；当 $y=0$ 时，$z=\sin x$ ，则 $z(x, y)=$
设 $z=f(x y, x-y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
设函数 $u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) d t$ ，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数，$\psi$ 具有一阶导数，试证 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
已知 $z=f(u, v, w)$ 具有连续偏导数，而 $u=\eta-\zeta, v=\zeta-\xi, w=\xi-\eta$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial \xi}, \frac{\partial z}{\partial \eta}, \frac{\partial z}{\partial \zeta}$ ，
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial \xi \partial \eta}, \frac{\partial^2 z}{\partial \zeta^2}
$$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性、可偏导性及可微性。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=x y+x f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f$ 为可导函数, 证明: $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$