单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y}$, 则 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{x}{x y^3+1}$
$\text{B.}$ $\frac{y}{x y^3+1}$
$\text{C.}$ $\frac{x y}{x^2 y^2+1}$
$\text{D.}$ $\frac{x y}{x y^3+1}$
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$, 则根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（）
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0), \\ 0, \quad(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 两个偏导数都存在，函数也连续。
$\text{B.}$ 两个偏导数都存在, 但函数不连续.
$\text{C.}$ 偏导数不存在，但函数连续。
$\text{D.}$ 偏导数不存在, 函数也不连续.
2．已知函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $f_{11}^{\prime \prime}\left(f_2^{\prime}\right)^2-2 f_{12}^{\prime \prime} f_1^{\prime} f_2^{\prime}+\left(f_1^{\prime}\right)^2 f_{22}^{\prime \prime}=-\left(f_1^{\prime}\right)^3$ ，其中 $f_1^{\prime} \neq 0$ ，方程 $z=f(x, y)$ 确定隐函数 $x=x(y, z)$ ，则 $\frac{\partial^2 x}{\partial y^2}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，则下列说法中，正确的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在．
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续．
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续．
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数均存在是 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可微的
$\text{A.}$ 必要而非充分条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)]}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)]}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x(x, 0)-f_x(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y(0, y)-f_y(0,0)\right]=0$
函数 $u=f(x, y, z)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处存在三个偏导数是函数 $u=f(x, y, z)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处连续的什么条件？
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分条件
$\text{C.}$ 必要条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 一个二元函数在一点存在极值的必要条件是在该点处一阶偏导数全为 0 ；
$\text{B.}$ 一个一元函数如果存在原函数则一定连续；
$\text{C.}$ 一个二元函数如果存在一阶偏导数则一定连续；
$\text{D.}$ 一个二元函数如果存在连续的一阶偏导数则一定可微；
已知二元函数 $f(x, y)=\frac{ e ^x}{x-y}$ ，下列式子正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y^3}{x^2+y^6}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 不存在偏导数．
$\text{B.}$ 不连续．
$\text{C.}$ 可微．
$\text{D.}$ 连续但是不可微．
设 $f(x, y)=x \cos \frac{1}{y}$ ，则下列选项错误的是
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续；
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 的定义域为 $\left\{(x, y) \in R^2 \mid y \neq 0\right\}$ ；
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在其定义域内连续；
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在区域 $\left\{(x, y) \in R^2|y>0,|x| < 1\}\right.$ 内有界。
以下关系不成立的是（ ）
$\text{A.}$ 偏导数连续蕴含可微；
$\text{B.}$ 可微蕴含连续；
$\text{C.}$ 偏导数存在蕴含连续；
$\text{D.}$ 可微蕴含偏导数存在．
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{|x|+y^2}=-3$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处 () ．
$\text{A.}$ 取极大值
$\text{B.}$ 取极小值
$\text{C.}$ 不取极值
$\text{D.}$ 无法确定是否取极值
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z^2-2 x y z=1$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 。
求椭球面 $4 x^2+y^2+z^2=1$ 在点 $\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 处的切平面。
设 $f(x, y, z)=\ln (x+y z)$, 则 $f_z(2,1,1)=$
$d \left(e^{2 x} \sin y\right)=$
设函数 $z=x f\left(x y+\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $z=\arctan \left(x y^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,1)}=$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right)^p \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 点的两个偏导数存在，则 $p$ 的范围为
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $x=e^u \cos v, y=e^u \sin v, z=u v$ ，试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．
$\left(5+3+2=10\right.$ 分）（1）设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，计算方向导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial \vec{l}}$ ，其中 $\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \alpha \in[0,2 \pi)$ 为单位向量．
（2）若一个二元函数 $g(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极小值，那么 $t=0$ 是否一定是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$ 的极小值点（其中 $\alpha$ 如（1）中所示），为什么？
（3）若对任意 $\alpha \in[0,2 \pi), t=0$ 是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$的极小值点，那么 $\left(x_0, y_0\right)$ 是否一定是 $g(x, y)$ 的极小值点，为什么？
判断函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}},(x, y) \neq(0,0) \\ a,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 的连续性．
设 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right), y=\varphi(x), f$ 可求偏导，$\varphi$ 可导，求 $\frac{ d z}{d x}$ ．
设 $z=f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
已知 $f(x, y)=\ln \left(2 e^x+e^y\right), \vec{l}=(1,2)$ ，求 $\left. d f\right|_{(0,0)}$ 与 $\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(0,0)}$
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=3$ ，令 $z=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{x=2, y=3}$.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2-2 z=f\left(y^2-2 z\right)$ 所确定的隐函数，其中 $f$ 可微，求证 $y \frac{\partial z}{\partial x}+x \frac{\partial z}{\partial y}=x y$ 。
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．
（1）设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，计算方向导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial \vec{l}}$ ，其中 $\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \alpha \in[0,2 \pi)$ 为单位向量．
（2）若一个二元函数 $g(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极小值，那么 $t=0$ 是否一定是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$ 的极小值点（其中 $\alpha$ 如（1）中所示），为什么？
（3）若对任意 $\alpha \in[0,2 \pi), t=0$ 是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$的极小值点，那么 $\left(x_0, y_0\right)$ 是否一定是 $g(x, y)$ 的极小值点，为什么？
设函数 $f(x, y)=e^y \sin \pi y+(x-1) \arctan \sqrt{\frac{y}{x}}$ 在 $(1,1)$ 处的偏导数．
设 $f(x, y)=x y+x^2+y^3$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ ，并求 $f_x{ }^{\prime}(0,1), f_y{ }^{\prime}(2,0)$ ．