单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(x+y)^2$, 则 $f(x, y)= $.
$\text{A.}$ $x^2\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 ;$
$\text{B.}$ $\frac{x}{y}(1+y)^2$;
$\text{C.}$ $y^2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2$;
$\text{D.}$ $\frac{y}{x}(1+y)^2$.
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，且两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点可微的 ( ).
$\text{A.}$ 充分条件，但不是必要条件;
$\text{B.}$ 必要条件, 但不是充分条件;
$\text{C.}$ 充分必要条件;
$\text{D.}$ 既不是充分条件, 也不是必要条件.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$
则在原点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)(\quad)$.
$\text{A.}$ 偏导数不存在;
$\text{B.}$ 不可微;
$\text{C.}$ 偏导数存在且连续;
$\text{D.}$ 可微 。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $\eta=-2 p^2$, 而市场对该商品的最大需求量为 1 (万件), 则需求函数为
设函数 $z=\arcsin (x y)$, 则 $d z=$.
求函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$
设曲面方程为 $z=w(x) e ^{\sin (x y)}$ ，其中 $w=w(x)(w>0)$ 由方程 $x^2+w^2+ e ^{x w}=5$ 确定，则曲面在点 $(0,1, z(0,1))$ 处的切平面方程为
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ 单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\{1,1,1\}$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right|_{(1,2,3)}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为 $x, y$ 件时, 总成本为 $C(x, y)=100+2 x+3 y+0.01\left(x^2+x y+y^2\right)$ （元）, 且每件售价分别为 8 元和 9 元.问两种产品各生产多少件时, 该厂可获得最大利润?
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $e^{-x y}-2 z+e^z=0$ 所确定的二元函数, 求 $d z$.
求圆柱螺旋线 $x=R \cos t, y=R \sin t, z=k t$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$ 对应点处的切线方程和法平面方程.
求曲线 $x^2+y^2+z^2=6, x+y+z=0$ 在点 $P(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程.
求球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面及法线方程。
求旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2+z^2=45, \\ x^2+2 y^2=z\end{array}\right.$ 在点 $(-2,1,6)$ 处的切线和法平面方程.
设曲面的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin \varphi \cos \theta \\
y=4 \sin \varphi \sin \theta,(0 \leq \varphi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2 \pi) \\
z=4 \cos \varphi
\end{array}\right.
$$
求该曲面在 $\varphi=\frac{\pi}{4}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 点处的切平面与法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 的切线与法平面.
设 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x+2 y-3 z$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．
设 $z=f\left(x^2+y^2, x \sin y\right), f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
求曲面 $2^{\frac{x}{z}}+2^{\frac{y}{z}}=8$ 在点 $M_0(2,2,1)$ 处的切平面和法线方程．
求曲线 $x=t-\sin t, y=1-\cos t, z=4 \sin \frac{t}{2}$ 在点 $t=\frac{\pi}{2}$ 处的切线方程和法平面方程．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程．
设 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+3 z^2=21, \\ x+y+z=0,\end{array}\right.$ 求 $\frac{d z}{d x}, \frac{d y}{d x}$ ．