单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $z=f(u)$ 二阶可导, 且 $u =3 e^y+2 x$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $6 x f''$
$\text{B.}$ $6 e^y f^{''}$
$\text{C.}$ $3 e^y f^{''}$
$\text{D.}$ $2 f''$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设三元函数 $f(x, y, z)=\arcsin \left(x^2+y+z^2\right)$ 。
(1) 求函数在点 $P\left(\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2}\right)$ 处函数值增加最快的方向;
(2) 求函数在 $P$ 点沿方向 $(1,-1,-1)$ 的方向导数。
设 $z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$, 则 $d z=$
设方程 $x^2+y^2+z^2-4 z=0$ 确定函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $e^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.d z\right|_{(0,0)}=$ $\qquad$
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论其在点 $(0,0)$ 处的连续性，偏导的存在性及可微性．
设 $x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)$ 都是由 $F(x, y, z)=0$ 所确定的具有连续偏导数的函数，则 $\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 确定，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，证明: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^z-z$ 所确定, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
设 $x$ 轴正向到方向 $l$ 的转角为 $\varphi$, 求函数 $f(x, y)=x^2-x y+y^2$ 在点 $(1,1)$ 沿方向 的方向导数，并分别确定转角 $\varphi$ ，使这导数有（1）最大值；（2）最小值;（3）等于零.
设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，而 $x=u+v, y=u-v$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u-v}{u^2+v^2}$
设 $e^z-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ ．
设 $z=\left(1+x^2+y^2\right)^{x y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$
设 $w=f(t), t=\varphi\left(x y, x^2+y^2\right), f$ 二阶可导，$\varphi$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}$ ．
设 $z=x f\left(x y, x^2+y^2\right), f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续一阶偏导数，$z=z(x, y)$ 由方程 $x e ^x-y e ^y=z e ^z$ 所确定，求 $d u$ ．
设 $z=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $d z$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
已知二元函数 $z=f(x+y, x-y, x y)$ 具有二阶连续偏导，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $z=f(x+y, x y)$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
已知 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ，设 $g(x, y)=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，证明：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=x^2+y^2$ 。
求下列函数的 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x .}$ ．
（1）$z=e^x \sin \frac{y}{x}$ ；
（2）$z=x^4+y^4-4 x^2 y^3$ ；
（3）$z=\arctan \frac{x}{1-x y}$ ．
设 $z=y f\left(x^2-2 y^2\right)$ ，其中 $f(u)$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $z=f x^2-y^2, e^{x y}$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+y^2-\sin (x y)=0$ 所确定，试求 $\frac{d y}{d x}$ ．
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $z^3+e^z=\int_{2 y}^{x^2} e^{-t^2} d t$ 所确定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．