单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $z=3(x+y)-x^3-y^3$ 的极值点是 ( ).
$\text{A.}$ $(1,2)$;
$\text{B.}$ (1.-2);
$\text{C.}$ $(-1,2)$;
$\text{D.}$ $(-1,-1)$.
函数 $u=\sin x \sin y \sin z$ 满足 $x+y+z=\frac{\pi}{2}(x>0, y>0, z>0)$ 的条件极值是 ( ).
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 0 ;
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$;
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数大于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数等于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数不存在
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)>0, g(0) < 0$ ，且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$ ．
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$ ．
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
函数 $u=\cos \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 $P(1,2,2)$ 处沿方向 $\vec{l}=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$ 的方向导数是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \sin 9 ;$
$\text{B.}$ $\sqrt{2} \sin 9$ ；
$\text{C.}$ $-\sqrt{2} \sin 9$ ；
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3} \sin 9$ ．
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^2+z^2}\right)$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿 $A$ 指向 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为 $\qquad$ ．
求函数 $f(x, y)=4(x-y)-x^2-y^2$ 的极值．
求函数 $u=\ln \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在点 ${ }_{M(1,2,-2)}$ 处的梯度 $\left.g r a d u\right|_M$ ．
函数 $u=x^2 y z$ 在附加条件 $x+y+z=8$ 下的极大值是
函数 $f(x, y, z)=x^2+x y$ 在 $(1,0,1)$ 处沿方向 $\vec{v}=(2,-1,2)$ 的方向导数为
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ ，单位向量 $n =\frac{1}{\sqrt{3}}\{1,1,1\}$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{(1,2,3)}=$ $\qquad$ ．
求曲线 $x=2 t^2, y=t, z=3 t^2$ 在点 $(2,1,3)$ 处的切线及法平面方程．
解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2+1$ 的极值
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值
在第一卦限内作椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积.
求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=e^{2 x}\left(x+y^2+2 y\right)$ 的极值．
设函数 $u=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，求函数 $u$ 在点 $M(1,1,1)$ 处沿曲面 $2 z=x^2+y^2$ 在点 $M$ 处的外法线方向 $\vec{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right|_M$.
求函数 $z=x^3+y^3-3 x^2-3 y^2$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=x y(a-x-y)$ 的极值．
求由方程 $x^2+y^2+z^2-2 x+2 y-4 z-10=0$ 所确定函数 $z=z(x, y)$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=x^2+y^2-3$ 在条件 $x-y+1=0$ 下的极值．
求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$下的最大值和最小值。
求函数 $z=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在 $x^2+y^2 \leqslant 25$ 上的最大值与最小值．
设某厂生产甲乙两种产品，产量分别为 $x, y$（千只），其利润函数为
$$
L(x, y)=-x^2-4 y^2+8 x+24 y-15 .
$$
如果现有原料 15000 千克（不要求用完），生产两种产品每千只都需要原料 2000 千克，求
（1）使利润最大的 $x, y$ 和最大利润；
（2）如果原料降至 12000 千克，求这时利润最大的产量和最大利润．
求函数 $f(x, y, z)=x^2+\sin y z$ 在点 $A(1,3,0)$ 处的方向导数的最大值．
设函数 $f(x, y)=x^2+y^2-12 x+16 y$ ，
（1）求 $f(x, y)$ 的极值；
（2）求 $f(x, y)$ 在圆周 $x^2+y^2=25$ 上的最大、最小值；
（3）求 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大、小值．
设有一座山的万程为 $z=75-x^2-y^2+x y, M\left(x_0, y_0\right)$ 是山脚 $z=0$（即等高线 $x^2+y^2-x y=75$上）的点．（1）问 $z$ 在点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处沿什么方向的增长率最大，若记此增长量的最大值为 $\varphi\left(x_0, y_0\right)$ ，试求出 $\varphi\left(x_0, y_0\right) ;(2)$ 现欲利用此山开展攀岩活动，为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀岩的起点，即在上述等高线上找一点 $M$ ，使得上述增长率最大，试确定该起点的位置．
求函数 $f(x, y, z)=x y z$ 在约束条件 $a x+b y+c z=2 S$ ，（ $S$ 为正常数，$x, y, z$ 均为正数）下的最大值．
求曲面 $z-e^z+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程．
求微分方程 $x d y+(x-2 y) d x=0$ 的一个解 $y=y(x)$ ，使得由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=1$ ， $x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积最小．
求 $f(x, y)=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 25\right\}$ 上的最值。
在椭球面 $2 x^2+y^2+z^2=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+\tan z^2$ 在该点沿曲线 $x=$ $t^2, y=1-2 t, z=t^3-3 t$ 在点 $(1,-1,-2)$ 处的切线方向的方向导数最大。
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定的隐函数，试求 $z=z(x, y)$ 的极值．
求函数 $z=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在有界闭域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 的最大值与最小值．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $l: 2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．
求函数 $z=3 x y-x^3-y^3$ 的极值。