单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A^* & O \\ A & B\end{array}\right)\right)=3$
$\text{B.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{D.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 椭球面.
$\text{B.}$ 单叶双曲面.
$\text{C.}$ 双叶双曲面.
$\text{D.}$ 柱面.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21}+2 a_{11} & a_{22}+2 a_{12} & a_{23}+2 a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^*=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵,若 $r(\boldsymbol{A})=n$, 给出以下四个结论:
(1) $\boldsymbol{A}$ 可以经过若干次初等行变换化为 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{E}_n \\ \boldsymbol{O}\end{array}\right)$;
(2) 存在 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{E}$;
(3) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵等价;
(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵合同.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ 的矩阵是