一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
曲面 $x^2-4 y^2+2 z^2=6$ 上点 $(2,2,3)$ 处的法线方程为
$\text{A.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
设 $D$ 是矩形域: $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4},-1 \leqslant y \leqslant 1$,则 $\iint_D x \cos (2 x y) d \sigma=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设 $L$ 是以 $A(-1,0), B(-3,2)$ 及 $C(3,0)$ 为顶点的三角形域的围界沿 $A B C A$ 方向, 则 $\oint_L(3 x-y) d x+(x-2 y) d y=$.
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 20
设点 $O, A, B$ 的坐标分别为 $(0,0),(1,0),(0,1)$, 点 $C$ 为区域 $D=\{(x, y) \mid 0 < x < 1, y>0\}$ 内一点, 则下列区域中, 四边形 $A O B C$ 的形心不可能在其中出现的是
$\text{A.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{B.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 1 < y < 2\right\}$.
$\text{C.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{D.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2}{3} < x < 1\right.,0 < y < 1\right\}$.
椭圆抛物面 $z=x^2+\frac{1}{4} y^2+3$ 到平面 $2 x-y+z=0$ 最近的点是?
$\text{A.}$ $(-1,2,5)$
$\text{B.}$ $(1,2,5)$
$\text{C.}$ $(1,-2,5)$
$\text{D.}$ $(-1,2,-5)$
函数 $z=x e^{2 y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从 $P(1,0)$ 到 $Q(2,-1)$ 的方向导数是?
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $D: x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0$, 则 $\iint_D\left(x^3 \cos y+y\right) d x d y=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面方程为
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
已知曲线 $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, 则 $\oint_L\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}\right) \mathrm{d} s=$
已知平面曲线 $z=4-y^2$ ，其绕 $z$ 轴旋转一周形成旋转曲面，则该旋转曲面与平面 $z=0$ 所围成的空间几何形体的体积为?
曲线积分 $\oint_L\left(x-y^2\right) d s=$ ? 其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=1$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求曲面 $\left\{\begin{array}{l}2 z=x^2+y^2 \\ z=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}\right.$ 所围区域的体积.
求第二型曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$, 方向为逆时针.
求曲面 $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi, z=r \cot \alpha$ 在点 $M_0\left(r_0, \varphi_0\right)$ 处的切平面方程和法线，其中 $\alpha$ 为某常数.
计算旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程
计算曲面积分， $I=\iint_{\Sigma}(x+y+z) d S$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$
计算第二类曲线积分， $I=\int_L e^x \sin y d x+e^x \cos y d y$ ，其中 $L$ 从 $O(0,0)$ 沿摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 到 $A(\pi a, 2 a)(a>0)$